Genauer gesagt zeigen wir, dass die Menge der zählbarsten Ordnungszahlen auch eine Kardinalität hat, die streng größer ist als die von N (Ergebnis aufgrund von Cantor). Das Kontinuum Hypothese ist dann, dass Cardinal ist, dass alle Teile N. Historisch
Cantor beweist dieses Ergebnis 1891 für die Menge der charakteristischen Funktionen von N (Menge der natürlichen Zahlen) und dann für die Menge der charakteristischen Funktionen des Intervalls der reellen Zahlen zwischen 0 und 1. Er behauptet jedoch, dass sich das Ergebnis auf eine beliebige verallgemeinert gesetzt, was seine Methode eindeutig erlaubt. Satz von cantor songs. Zermelo gibt dieses Ergebnis an (und demonstriert es), das er in seinem Artikel von 1908 als Cantors Satz ( (de) Satz von Cantor) bezeichnet, der als erster eine Axiomatisierung der Mengenlehre vorstellte. Anmerkungen und Referenzen
↑ (von) Georg Cantor, " Über Eine elementare Frage der Mannigfaltigskeitslehre ", Jahresber. der DMV, vol. 1, 1891, p. 75-78 ( online lesen), reproduziert in Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalte, herausgegeben von E. Zermelo, 1932.
Satz Von Cantor Park
d ist in jedem x ∈ M verschieden von f (x), d. h. es gilt f (x)(x) ≠ d(x). f (x)(x) ist der Wert der 0-1-Folge f (x) an der Stelle x, d. h. der Wert der Waagrechten f (x) an ihrem Schnittpunkt mit d. d ist dort gerade verschieden von diesem Wert, also ist d sicher nicht gleich f (x). Und dies gilt für alle x ∈ M. Übung Sei M = { 0, 1, 2, 3}. Bestimmen Sie D ⊆ M wie im obigem Beweis für die Funktion f: M → ℘ (M) mit f (0) = { 1, 3}, f (1) = { 0, 2}, f (2) = { 1, 2}, f (3) = { 0, 1, 2}. Zeichnen Sie zudem obiges Diagramm für diese Situation mit 0-1-Folgen für f (x) und bestimmen Sie d. Durch iterierte Anwendung der Potenzmengenoperation können wir nun, ausgehend von einer beliebigen Menge, Mengen mit immer größerer Mächtigkeit erzeugen: Sei M eine Menge. Wir definieren ℘ n (M) für n ∈ ℕ rekursiv durch ℘ 0 (M) = M, ℘ n + 1 (M) = ℘ ( ℘ n (M)) für n ∈ ℕ. Dann gilt | ℘ n (M)| < | ℘ n + 1 (M)| für alle n ∈ ℕ. Satz von cantor park. Sei weiter M* = ⋃ n ∈ ℕ ℘ n (M). Dann gilt | ℘ n (M)| < | ℘ n + 1 (M)| ≤ |M*| für alle n ∈ ℕ.
Wie kommt man auf die Menge D = { x ∈ M | x ∉ f (x)}? Bei genauerem Hinsehen erweist sich die Konstruktion von D als eine Diagonalisierung, wie sie uns in den Beweisen der Überabzählbarkeit von ℝ und von | ℝ | < | 𝔉 | bereits begegnet ist: Wir identifizieren eine Teilmenge A von M mit ihrer Indikatorfunktion ind A, M: M → { 0, 1}, wobei wieder ind A, M (x) = 1 gdw x ∈ A. Die Potenzmenge von M wird dann zu M { 0, 1}, der Menge aller Indikatorfunktionen auf M. Sei nun f: M → M { 0, 1}. Wir suchen ein d ∈ M { 0, 1} mit f (x) ≠ d für alle x ∈ M. Wir können aber d verschieden von allen f (x) konstruieren durch: d ( x) = 1, falls f ( x) ( x) = 0, 0, falls f ( x) ( x) = 1, für alle x ∈ M. Dann gilt d(x) ≠ f (x)(x) für alle x ∈ M, also ist d ∉ rng(f). Die Senkrechte des Diagramms repräsentiert M. Die Waagrechten seitlich der Senkrechten stehen für Funktionen f (x) ∈ M {0, 1}, die man sich als 0-1-Folgen vorstellen kann. Satz von Cantor - Unionpedia. Die oberste Waagrechte ist der Definitionsbereich dieser Funktionen. Die Diagonale steht für die konstruierte Funktion d ∈ M { 0, 1} − ebenfalls eine 0-1-Folge.