Geraden können im Raum auf unterschiedliche Art und Weise zu Ebenen liegen. Die verschiedenen Möglichkeiten sind folgende: Mögliche Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen: Gerade liegt in Ebene Jeder Punkt der Gerade liegt in der Ebene, also gibt es unendlich viele Schnittpunkte Gerade und Ebene schneiden sich Es gibt genau einen Schnittpunkt, den die Ebene und die Gerade gemeinsam haben. Gerade und Ebene besitzen keine gemeinsamen Punkte, insbesondere auch keinen Schnittpunkt Orientierung bestimmen (analytische Geometrie) Um den Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene oder die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene zu berechnen, benötigst du eine Ebene in Koordinatenform und eine Gerade in Parameterform. Falls die Ebene in Paramenterform gegeben ist, so formst du diese zuerst in Koordinatenform um. Anschließend kannst du wie folgt vorgehen. Vorgehensweise: Setze die rechte Seite der Geradengleichung in die Koordinatenform der Ebene ein. Schnittpunkt zwischen gerade und ebene e. Versuche λ \lambda (allg. den Parameter der Geradengleichung) zu bestimmen.
Schnittpunkt Zwischen Gerade Und Ebene E
4. Beispiel: Gerade liegt parallel zur Ebene
Merkmale: Kein Schnittpunkt, das Ergebnis hat das Format x=y (unwahre Aussage, z. 1=2, oder 100=-100, oder 5=9873). Gegeben:
Das Ergebnis ist unwahr und daher muss nicht weitergerechnet werden. Die Gerade und die Ebene müssen parallel sein (sonst würden sie mindestens einen Schnittpunkt haben).
Durch diese Überlegung wird die Frage nach dem Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene auf das einfachere Problem des Schnittwinkels von zwei Geraden im Raum zurückgeführt. Hat die Ebene ε die Gleichung ε: x → = p → 0 + r u → + s v →, so ist n → = u → × v → ein Normalenvektor von ε. Ist die Gleichung von ε in der Koordinatenschreibweise, also a x + b y + c z + d = 0, angegeben, dann gilt n → = ( a b c). Unter Verwendung der Definitionsgleichung des Skalarprodukts lässt sich nun als Formel für die Berechnung des Schnittwinkels zwischen n → und g: x → = p → 1 + t a → angeben: cos α = | n → ⋅ a → | | n → | ⋅ | a → | = | ( u → × v →) ⋅ a → | | u → × v → | ⋅ | a → | Da ϕ = 90 ° − α ist, kann man auch schreiben: sin ϕ = | ( u → × v →) ⋅ a → | | u → × v → | ⋅ | a → | ( m i t 0 ° ≤ ϕ ≤ 90 °) Beispiel 1: Es ist der Schnittwinkel zwischen der Geraden g: x → = ( 1 3 5) + t ( 3 2 1) und der xy-Ebene zu ermitteln. Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen - lernen mit Serlo!. Da jeder Normalenvektor n → der xy-Ebene in z-Richtung weist, also z. B. die Gleichung n → = ( 0 0 1) besitzt, gilt für den gesuchten Schnittwinkel sin ϕ = | ( 0 0 1) ⋅ ( 3 2 1) | | ( 0 0 1) | ⋅ | ( 3 2 1) | = 1 1 ⋅ 14 = 14 14 ≈ 0, 2672 und damit ϕ ≈ 15, 5 °.