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Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten in der Rückwärtsversion:
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² − 2ab + b² = (a − b)²
a² − b² = (a + b) (a − b)
In dieser Richtung (links ohne Klammer, rechts mit) ermöglichen die Formeln, eine Summe oder Differenz in ein Produkt umzuformen ("faktorisieren"). Hier ist es wichtig, dass man den linken Term erst einmal überprüft: Liegt die passende Struktur für eine BF vor? Eine Probe (andere Richtung) gibt Gewissheit. Löse durch Faktorisieren:
Quadratische Gleichungen können leicht gelöst werden, wenn
x nur im Quadrat vorkommt (z. B. -2x² + 3 = 2) → nach x² auflösen, zuletzt Wurzel ziehen; beachte "±"! keine (additiven) Konstanten auftreten (z. Quadratische Gleichungen - Lösungstechniken - Mathematikaufgaben und Übungen | Mathegym. -2x² = 3x) → alle x-Terme auf eine Seite und x ausklammern
Löse jeweils so einfach wie möglich (ohne Lösungsformel):
Satz von Vieta: Die quadratische Gleichung in Normalform x 2 + px + q = 0 besitzt die beiden Lösungen x 1 und x 2, falls
x 1 + x 2 = −p und x 1 ·x 2 = q
Löse mit Hilfe des Satzes von Vieta:
Beim Lösen einer Gleichung mit der Unbekannten x kann es hilfreich sein, eine Substitution vorzunehmen.
Quadratische Gleichungen Aufgaben Klasse 10
Man ersetzt dabei einen geeigneten x-Term (z. x²) durch eine neue Variable, z. "z", so dass die Gleichung gelöst werden kann. Wenn man die Lösung(en) für z kennt, findet man die Lösungen für x leicht heraus ( Re- / Rücksubstitution).
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Löse anschließend die quadratische Gleichung. 4 Setze das Ergebnis für in die zweite Gleichung ein. Quadriere dann beide Teile der Gleichung und löse sie. 7 Bestimme den Wert von, damit die Lösungen der Gleichung den gleichen Wert haben. Berechne die Diskriminante und setze sie auf Null. Trainingsaufgaben zu quadratischen Gleichungen • 123mathe. Somit ergibt sich eine Doppelwurzel. Die möglichen Werte für den Koeffizienten des linearen Terms sind 8 Gesucht ist der Wert von zwei Zahlen, deren Summe fünf ist, und deren Produkt ist 9 Bestimme das Alter von Peter: Du weißt, dass er in Jahren die Hälfte des Quadrats des Alters sein wird, das er vor Jahren hatte. Wenn für das aktuelle Alter steht, war er vor Jahren Jahre alt und in Jahren wird er sein: Daher ist Peter Jahre alt. 10 Zur Umzäunung eines rechteckigen Grundstücks von wurde ein Sichtschutznetz von verwendet. Berechne die Abmessungen des Grundstücks. Dividiere das verwendete Sichtschutznetz durch zwei, so erhältst du den Halbperimeter des Grundstücks:. Daher kann das Problem mit den Formeln im Bild modelliert werden: Das Grundstück hat Abmessungen von und 11 Die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind proportional zu den Zahlen Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von Berechne die Länge jeder Seite des Dreiecks.
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Diskriminante:
D = b² − 4ac
Gilt D < 0, so ist die quadratische Gleichung unlösbar. Gilt D = 0, so hat die quadratische Gleichung genau eine Lösung. Gilt D > 0, so hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen. Die Lösungen der quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. Mitternachtsformel (MNF) bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:
Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):
x 1, 2 = (−b ± √D): 2a
Der Satz vom Nullprodukt sagt: Ist ein Produkt von zwei Zahlen Null, dann muss mindetens ein Faktor Null sein. Quadratische gleichungen aufgaben klasse 10. In etwas formalerer Schreibweise: Aus a·b= 0 folgt a = 0 und/oder b = 0. Es folgt sofort: Ist ein Produkt aus mehreren Faktoren Null, dann muss mindetens ein Faktor Null sein. Vielfachheit von Lösungen:
Die Gleichung (x-1) 2 = 0 hat nur die Lösung x = 1, da der Faktor (x-1) aber zwei Mal auftritt, sagt man, dass x = 1 eine zweifache Lösung ist.
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1 Löse die folgenden Gleichungen: 1 Sie kann mit der abc-Formel oder der Faktorisierungsmethode gelöst werden. Wende die Faktorisierungsmethode an: 2 Wende die Faktorisierungsmethode an: 3 Wende die Faktorisierungsmethode an: 4 Wende die Faktorisierungsmethode an: 2 Löse die folgenden Gleichungen: 1 Wende die Faktorisierungsmethode an: 2 Vereinfache den Bruch auf der rechten Seite der Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner und fasse dann die ganze Gleichung zusammen. Wende anschließend die Faktorisierungsmethode an: 3 Löse die folgenden Gleichungen: 1 Du kannst die Faktorisierungsmethode anwenden, zum Beispiel: 2 Wende die Faktorisierungsmethode an: 4 Löse die folgenden Gleichungen: 1 Löse zuerst die Wurzel der Gleichung auf. Quadriere also beide Seiten der Gleichung und multipliziere die Klammer aus und löse die Gleichung. 2 Löse die Wurzel der Gleichung wird auf. Quadratische gleichungen aufgaben mit lösung. Quadriere dann die beiden Seiten der Gleichung, fasse zusammen und löse mit der abc-Formel. 5 Finde die Wurzeln von: 1 Verwende die synthetische Division, weil die Gleichung dritten Grades ist.
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4 Lies aus nachstehender Abbildung mögliche Funktionsterme der Funktionen f f, g g und h h ab. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung f ( x) = g ( x) f(x) = g(x). 5 Der Punkt A ( 1, 5 ∣ − 0, 25) A(1{, }5|-0{, }25) liegt auf der Parabel der Form x ↦ x 2 + e x\mapsto x^2+e. Gib e e an. 6 Gib die Funktionsterme der gezeichneten Graphen an. Überlege dir alle drei Funktionsterme, bevor du die Lösung öffnest, da dort alle drei Lösungen sofort erscheinen. 7 Gib den Funktionsterm an, der die verschobene Normalparabel mit Scheitel S ( 13 ∣ 0) S(13|0) beschreibt. 8 Gib zu den jeweiligen Scheiteln von verschobenen Normalparabeln den Funktionsterm an. 9 Auf dem Graph der Funktion a x 2 ax^2 liegen die folgenden Punkte. Gib für jeden Punkt den Funktionsterm an. 10 Wie lautet die Gleichung einer nach unten geöffneten Normalparabel mit Scheitel S ( 5 ∣ 2) S\left(5|2\right)? Quadratische gleichungen aufgaben online. Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4. 0. → Was bedeutet das?
Bestimmen Sie die Lösungsmenge durch Wurzelziehen. $3x^2-27=0$
$3x^2=\frac 43$
$-2(x^2-8)=16$
$-2(x^2+8)=16$
Bestimmen Sie die Lösungsmenge durch Ausklammern. $4x^2+12x=0$
$x^2+x=0$
$\frac 13x^2-x=0$
$5x^2+18x=0$
Bestimmen Sie die Lösungsmenge mithilfe der $pq$-Formel. $x^2-13x+36=0$
$x^2+12x+36=0$
$x^2-x+\frac 29=0$
$250x^2+605x+366=0$
$3x^2-7x-6=0$
Bestimmen Sie die Lösungsmenge mithilfe eines möglichst günstigen Verfahrens. $-x^2+x+12=0$
$8x^2+2x-1=0$
$x^2+4x=0$
$1-x^2=0$
$x^2+2x+1=0$
Bestimmen Sie die Lösungsmenge. $(x+4)^2=16$
$(x-3)^2-25=0$
$(x+1)^2=\frac 14$
Lösungen
Letzte Aktualisierung: 02. 12. Aufgaben: Quadratische Gleichungen (Wiederholung für die Oberstufe). 2015; © Ina de Brabandt
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