Äquivalenzumformung Definition
Mit Äquivalenzumformungen kann man viele Gleichungen (und Ungleichungen) lösen, v. a. lineare Gleichungen. Beispiel
Die Gleichung sei $2 \cdot x + 3 = 7$ und x soll ermittelt werden. Dazu formt man die Gleichung – hier in zwei Schritten – auf beiden Seiten der Gleichung um:
Zunächst wird auf beiden Seiten 3 abgezogen, notiert wird dies hinter einem senkrechten Strich:
$$2 \cdot x + 3 = 7 \; \vert -3$$
$$2 \cdot x = 4 $$
Dann wird auf beiden Seiten durch 2 geteilt:
$$2 \cdot x = 4 \; \vert:2$$
$$x = 2$$
Die (hier einzige) Lösung der Gleichung ist x = 2 (bei anderen Gleichungen kann es mehrere Lösungen bzw. Gleichungen mit äquivalenzumformungen lösen youtube. eine Lösungsmenge geben). Es wird bei der Umformung mit den gegensätzlichen Operatoren gearbeitet: in der Gleichung stand "plus 3", dann wird mit "minus 3" umgeformt; in der Gleichung stand "mal 2", dann wird mit "geteilt durch 2" umgeformt (durch 0 dürfte man nicht teilen). Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung, die die Lösung bzw. Lösungsmenge nicht verändert.
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Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 67
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:
\(a{x^2} + bx + c = 0;\, \, \, \, \, a{\text{, b}}{\text{, c}} \in {\Bbb R}\, \, \, \, \, a \ne 0\)
Zeige an Hand des Beispiels a=4 und b=12 für den Spezialfall c=0, wie man Gleichungen vom Typ \(a{x^2} + bx = 0\) lösen kann. Aufgabe 1492
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 2. Gleichungen mit äquivalenzumformungen lösen und. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Äquivalenzumformung
Nicht jede Umformung einer Gleichung ist eine Äquivalenzumformung. \(\eqalign{ & {x^2} - 5x = 0\, \, \, \, \, \, \, \, \left| {:x} \right. \cr & x - 5 = 0 \cr} \)
Aufgabenstellung:
Erklären Sie konkret auf das oben angegebene Beispiel bezogen, warum es sich bei der durchgeführten Umformung um keine Äquivalenzumformung handelt! Die Grundmenge ist die Menge der reellen Zahlen.
$x-5=8 \quad|\color{red}{+5}$ $x-5\color{red}{+5}=8\color{red}{+5}$ $x=13$
Subtraktionsregel
Wir subtrahieren auf beiden Seiten dieselbe Zahl, sodass sich eine positive Zahl auf der Seite mit dem $x$ aufhebt. $x+10=18 \quad|\color{red}{-10}$ $x+10\color{red}{-10}=18\color{red}{-10}$ $x=8$
Multiplikationsregel
Bei einem Faktor kleiner als 0 können wir mit dem Kehrwert multiplizieren. $0, 5\cdot x=9 \quad|\color{red}{\cdot2}$ $\color{red}{2\cdot}0, 5\cdot x=9\color{red}{\cdot2}$ $x=18$
Divisionsregel
Üblicherweise dividiert man durch den Faktor vor dem $x$. Gleichungen mit äquivalenzumformungen lose belly. $5x=25 \quad|\color{red}{:5}$ $\frac{5x}{\color{red}{5}}=\frac{25}{\color{red}{5}}$ $x=5$
Gleichungen Mit Äquivalenzumformungen Lösen Youtube
Entsprechende Beispiele mit Zahlen werden vorgerechnet. Nächstes Video »
Fragen mit Antworten Äquivalenzumformungen
Die Äquivalenzumformung ist wichtig, um Gleichungen lösen zu können. Sie ist dafür da, um bei einer Gleichung die Unbekannte auf
einer Seite zu isolieren (also nach einer Variablen aufzulösen), sodass man die Unbekannte bestimmen kann. Es soll also am Ende dastehen x=.... Das funktioniert, indem man einen
Äquivalenzstrich hinter der Gleichung macht, welcher aussagt, dass die Rechenoperation, welche dahintersteht, auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt wird. Das darf man, weil wenn etwas
auf beiden Seiten multipliziert, addiert, subtrahiert,... wird, sich der Wert der Gleichung nicht verändert, so, wie wenn man dasselbe Gewicht auf beide Enden einer Waage legt. Äquivalenzumformungen bei Gleichungen | Maths2Mind. Wollt ihr etwas mit Plus oder Minus auf die andere Seite bringen, schreibt ihr das hinter dem Äquivalenzstrich hin und führt diese Aktion dann auf beiden
Seiten durch. Führt diese Operation immer mit dem gegenteiligen Rechenzeichen durch, so fällt es auf der einen Seite weg und ist dann auf der anderen Seite. Beispiele:
Aufgaben mit Lösungen:
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Franziska
Titelfoto: Amac Garbe I