Der Satz des Cavalieri gehört in die Mathematik. Und zwar macht dieser Satz, auch als Cavalierisches Prinzip bekannt, Aussagen über die Rauminhalte bestimmter Körper. Der Satz erlaubt es, die Volumengleichheit zu prüfen. Satz des Cavalieri - das sagt er aus
Francesco Cavalieri war ein italienischer Mathematiker und Astronom des 16. Jahrhunderts. Als Professor von Bologna befasste er sich mit der Untersuchung von Kurven, Flächen und Volumina. Auf diese Arbeiten ist sein Cavalierisches Prinzip zurückzuführen. Der Satz macht Aussagen über die Volumina, also die Rauminhalte beliebiger Körper, egal ob mit geraden oder gekrümmten Begrenzungsflächen. Er stellt somit eine hilfreiche Verallgemeinerung vieler anderer Formeln zur Berechnung von Rauminhalten dar. Inhalt und Drumherum/Der Satz von Cavalieri – ZUM-Unterrichten. Kernaussage des Satzes von Cavalieri ist die folgende: Werden (geometrische) Körper von den gleichen Grundflächen begrenzt und haben sie in diesen Flächen und in jeder (! ) hierzu parallelen Fläche den gleichen Flächenquerschnitt, dann sind auch ihre Volumina gleich.
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Schnittflächen von Prismen und Pyramiden
Eulerscher Polyedersatz
Satz des Cavalieri
Inhalt Das Satz des Cavalieri Der Eulersche Polyedersatz Das Satz des Cavalieri
Stell dir vor, du hast einen Stapel Druckerpapier. Da es sich hierbei um einen Quader handelt, kannst du dessen Volumen berechnen, indem du die Länge mit der Breite mit der Höhe des Quaders multiplizierst. Wenn du den Stapel nun ein wenig verschiebst, so dass er schräg ist: Was glaubst du, ändert sich dadurch das Volumen? Nein, ganz sicher nicht. Satz des cavalieri aufgaben in deutsch. Das besagt der Satz des Cavalieri, oder auch das Prinzip von Cavalieri:
Zwei Körper gleicher Gesamthöhe besitzen das gleiche Volumen, wenn ihre Schnittflächen in jeder Höhe den gleichen Flächeninhalt haben. Das Beispiel dieses blauen Quaders, zeigt das noch einmal anschaulich. Das grüne Parallelepiped entsteht durch Verschieben aus dem blauen Quader. Dies entspricht der Situation mit dem Papierstapel. Die rote gestrichelte Linie deutet eine Schnittebene parallel zur Grundfläche des Quaders an.
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Einordnung und Geschichte [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
In der modernen Herangehensweise über analytische Geometrie und Maßtheorie ist das Prinzip von Cavalieri ein Spezialfall des Satzes von Fubini. Cavalieri selbst hatte keinen strengen Beweis für das Prinzip, nutzte es jedoch als Rechtfertigung seiner Methode der Indivisibilien, die er 1635 in Geometria indivisibilibus und 1647 in Exercitationes Geometricae vorstellte. Hiermit konnte er für einige Körper die Volumen berechnen und über die Resultate von Archimedes und Kepler hinausgehen. Satz von Cavalieri | Learnattack. Die Idee, das Berechnen von Volumina auf Flächen zurückzuführen, stellte einen wichtigen Schritt in der Entwicklung der Integralrechnung dar. Aus dem Prinzip von Cavalieri lässt sich herleiten, dass das Volumen eines 'höhengedehnten' Körpers (bei gleichbleibender Grundfläche) proportional zu seiner Höhe ist. Als Beispiel: Ein Körper, dessen Höhe auf diese Weise verdoppelt wird, kann durch 2 gleiche Ausgangskörper konstruiert werden, indem zuerst alle äquivalenten Schnittflächen zusammengelegt werden und diese in der entsprechenden Reihenfolge des Ausgangskörpers aufgeschichtet werden (beide Ausgangskörper werden quasi ineinandergeschoben).
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Die dadurch entstehenden Flächen, das blaue Rechteck und das grüne Parallelogramm, haben den gleichen Flächeninhalt. Dies gilt für jede Schnittebene. Deshalb stimmen das Volumen des Parallelepipeds und des Quaders überein. Der Eulersche Polyedersatz
Bevor wir uns mit diesem Satz beschäftigen, wenden wir uns erst einmal dem Begriff Polyeder zu: Ein Polyeder heißt auch Vielflach. Ein Polyeder ist ein Körper, welcher ausschließlich von ebenen Flächen begrenzt wird. Beispiele für Polyeder sind: Würfel; Quader, Pyramiden,... Hier siehst du einen Würfel:
Nun kannst du dir überlegen, ob Körper auch von nicht ebenen Flächen begrenzt werden können. Na klar, zum Beispiel wird eine Kugel von einer gekrümmten Fläche begrenzt, ebenso ein Kegel oder ein Zylinder. Satz des cavalieri aufgaben francais. Hier siehst du zum Beispiel einen Kegel. Seine Mantelfläche ist gekrümmt. Polyeder haben Ecken, Kanten und Flächen. Wir schauen uns einmal ein Prisma an:
Ein Prisma setzt sich immer aus zwei beliebigen, aber deckungsgleichen (kongruenten) Vielecken als Grund- und Deckfläche zusammen.
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Mit den Mitteln der elementaren Geometrie bleibt das cavalierische Prinzip, zwar höchst anschaulich, aber nicht beweisbar. Dazu benötigt man die Infitesimalrechnung, d. den Grenzwertbegriff. Satz des cavalieri aufgaben 4. Allerdings liefern auch hier die Exponate eine gute Veranschaulichung. Wenn man sich beispielsweise bei den Pyramiden die Quadrate immer dünner und dünner vorstellt (siehe Papierblöcke), dann nähern wir uns hinsichtlich des Volumens immer mehr der nicht-stufigen Pyramide. Das cavalierische Prinzip hilft aber nicht nur bei der Volumenberechnung schiefer Körper, sondern auch in vielen anderen Fällen, so auch hier:
Um diesen wellenförmig geschwungenen Glaskörper besser zu erkennen, wurde er mit gefärbtem Wasser gefüllt:
Entgegen unserer Intuition ist das Volumen dieses Körpers dasselbe wie das Volumen eines Quaders mit demselben Quadrat als Grundfläche und derselben Höhe. Das ergibt sich aus dem Prinzip von Cavalieri, weil alle zur Grundfläche parallelen Schnittflächen immer das gleiche Quadrat der Grundfläche liefern.
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