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Im Zusammenhang mit der Beschäftigung mit Wahrscheinlichkeitstheorie veröffentlichte Pascal auch die geometrische Darstellung der Binomialkoeffizienten, die heute als Pascalsches Dreieck bekannt ist. Pascal hat außerdem zur Entwicklung der Infinitesimalrechnung beigetragen. Beiträge in der Physik In der Physik beschäftige Pascal sich mit Hydrodynamik und Hydrostatik, also mit den Eigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen, zum Beispiel deren Druck. Dreieckszahlen. Für den hydrostatischen Druck fand Pascal eine Formel, die als Pascalsches Gesetz bekannt ist. Die Einheit des Drucks wird nach ihm Pascal genannt. Bildquelle: Wikipedia
Pascalsches Dreieck Bis 期
Wer Verstand hat, der überlege
die Zahl des Tieres; denn es ist eines Menschen Zahl, und seine Zahl ist
sechshundertsechsundsechzig
(Offenbarung des Johannes
13, 18 in Luthers Übersetzung). In der Interpretation der Bibelausleger ist die Zahl
des Tieres eine "böse Zahl" und wird auch als Zahl des Biestes (Number
of the Beast), als Satanszahl oder als Zahl des Antichristen bezeichnet. Folglich hat man 666 in den Namen der Kaiser Nero und
Diokletian gesucht und gefunden, denn sie haben in ihrer Zeit die Christen
verfolgt. Zur Zeit der Religionskriege im 16. Pascalsches dreieck bis 100期. Jahrhundert wurde
666 mit dem Namen Luthers verbunden, im Gegenzug auch mit dem des Papstes. Das Beispiel des Papstes verfolgt das Prinzip der Chronogramme. Der Papst wird bezeichnet mit VICARIUS FILII DEI (Stellvertreter
des Sohnes Gottes). Addiert man darin die Werte der römischen Ziffern,
so ergibt sich 666 ( VIC AR IV S F ILII D E I). Im Internet wird man nach Eingabe des Suchwortes 666 überschwemmt
mit Informationen, wenn man denn will.
Pascalsches Dreieck Bis 100仿
Dieses Problem lösten PASCAL und FERMAT auf unterschiedlichen Wegen (PASCAL über das "Pascalsche Dreieck"), aber mit dem gleichen Ergebnis. Aus solchen Anregungen heraus entstand aufgrund weiterer Untersuchungen und Überlegungen PASCALs Broschüre "Géométrie du hasard" (Geometrie des Zufall). Das pascalsche Zahlendreieck Das nach PASCAL benannte " Pascalsche Dreieck " war zwar schon lange vor ihm bekannt, doch PASCAL hat es näher untersucht und vielfältige Nutzungsmöglichkeiten entdeckt. In diesem Dreieck beginnt jede Zeile mit der Zahl 1 und endet auch mit ihr. Die Zahlen der folgenden Zeile ergeben sich jeweils aus der Addition der beiden darüber liegenden Zahlen: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1... Zeilenweise geben die Zahlen die Koeffizienten von ( a + b) n an. Blaise Pascal in Mathematik | Schülerlexikon | Lernhelfer. So ist z. B. : ( a + b) 5 = 1 ⋅ a 5 + 5 ⋅ a 4 b + 10 ⋅ a 3 b 2 + 10 ⋅ a 2 b 3 + 5 ⋅ a b 4 + 1 ⋅ b 5 Dadurch wird das Ermitteln höherer Potenzen von ( a + b) n ohne mühseliges Ausmultiplizieren möglich, und auch das Berechnen bestimmter Terme wie etwa 1, 01 6 wird erleichtert.
Pascalsches Dreieck Bis 10
Dem Vernehmen nach geht auch die Erfindung der Schubkarre auf PASCAL zurück. PASCALS Beitrag zur Entwicklung der Stochastik Mit PIERRE DE FERMAT schuf PASCAL die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ausgangspunkt dafür war die gemeinsame Freundschaft mit einem Adligen, dem Chevalier DE MÉRÉ, der sein Geld mit Würfelspielen zu verdienen trachtete. Dieser hatte sich zum Beispiel folgendes Spiel ausgedacht: Er wollte mit seinem Gegenspieler wetten, dass bei viermaligem Würfeln wenigstens einmal die Sechs vorkommen würde, sonst sollte der Gegenspieler gewinnen. Pascalsches Dreieck – kapiert.de. Der Chevalier DE MÉRÉ bat PASCAL deshalb zu untersuchen, ob dieses Spiel für ihn vorteilhaft sei. PASCAL schloss: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine Sechs fällt, ist bei einmaligem Würfeln 5 6, bei viermaligem Würfeln ( 5 6) 4 = 625 1296 ≈ 0, 482 und damit kleiner als 1 2. Die Gewinnaussichten für DE MÉRÉ lagen also über der Hälfte. In einem anderen Fall ging es darum, wie bei einem vorzeitigem Abbruch des Spiels der Einsatz entsprechend des gegebenen Punktestands aufzuteilen sei.
Pascalsches Dreieck Bis 100期
Das ist nämlich dann ein echtes Excel-Problem, das in dieses Forum gehört. 26. 2002, 13:45
# 7
A. S.
Hallo Johannes,
ich habe das gerade mal händisch (ok, nen paar Makros und Copy&Paste war'n auch dabei) in Excel nachvollzogen und muß sagen:
Das ist eine Strafarbeit, und zwar für einen der nicht nur seine Mathe- oder Informatik-Prof, sondern gleich den ganzen Lehrkörper (oder schreibt man den mit 2 'e'?!? ) und sämtliche Verwandten und Anverwandten gleich mit erschlagen hat
Da wünsche ich nur: "Viel Spaß, dabei! " Gruß
Arno
PS Wenn der Pauker 'nen Nickel ist, will er keine Exponentialzahlen sehen
[ 26. Oktober 2002: Beitrag editiert von: A. Pascalsches dreieck bis 期. S. ] 28. 2002, 07:08
# 8
MOF Koryphäe
Registrierung: 11. 2000
Ort: Deutschland, 60529 Frankfurt
Karma:
Moin Leute,
ich verfolge die Entwicklung hin zum Pascalschen Dreieck mit Excel mit ner gewissen Neugier, weil ich schon gerne wüßte wie man das umsetzt...
@Johannes: das ist doch nicht die einzige Formel, um Binomialkoeffizienten zu berechnen, oder?
Zudem spielt jenes Dreieck in der Kombinatorik eine Rolle, denn die Terme ( 6 1) = 6, ( 6 2) = 6 ⋅ 5 1 ⋅ 2 = 15, ( 6 3) = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 20 usw. ergeben sich aus der entsprechenden Zeile des pascalschen Dreiecks. Für PASCALs Vielseitigkeit zeugen weiterhin seine Untersuchungen über Zykloiden, niedergelegt in seinem Werk "Traité générale dela roulette" (Allgemeine Abhandlung über die Zykloide), und vielfältige Berechnungen, bei denen er Grundgedanken der späteren Differenzialrechnung benutzte. Über die Beschäftigung mit der Mathematik sagte er einst: Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, dass man keine Gelegenheit versäumen sollte, sie etwas unterhaltsamer zu gestalten. Weitere wissenschaftliche Leistungen PASCALs Neben seinen Beiträgen zur Mathematik verdienen auch PASCALs physikalische Untersuchungen Erwähnung. Pascalsches dreieck bis 10. Die Versuche TORRICELLIs und OTTO VON GUERICKEs hatten das Interesse an Fragen des Luftdrucks geweckt. Zu diesem Problem führte PASCAL zahlreiche Untersuchungen durch.
2003 verursacht wurden. Es wurden in diesem Beitrag Links korrigiert, die auf falsche Adressen zeigten... Geändert von jinx (02. 2003 um 21:55 Uhr).