Die Aufgabe könnte so lauten: Eine Parabel 3. Ordnung geht durch den Ursprung und hat in W (1|–2) eine Wendetangente mit der Steigung 2. Die Standardfunktion dritter Ordnung: f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Da eine Nullstelle sich bei O(0|0) befindet, muss d = 0 sein, d. h. es entfällt völlig. 0 = ax³ + bx² + cx
0 = x(ax² + bx + c) x1 = 0
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
Beim x-Wert "1" befindet sich ein Wendepunkt (die zweite Ableitung von 1 muss folglich Null sein). f''(1) = 0
0 = 6a + 2b
Dieser x-Wert "1" hat die y-Koordinate "–2", d. wenn man in die Funktion für x = 1 einsetzt, bekommt man –2 heraus. Rekonstruktion - Musteraufgabe. f(1) = –2
–2 = a + b + c
In dem Wendepunkt ist die Steigung (erste Ableitung) gleich 2 (x = 1). f'(x) = 2
2 = 3a + 2b + c
Es gibt die drei Unbekannten (a, b, c), die man mithilfe der drei Gleichungen herausbekommen kann. Dazu muss man diese nur geschickt kombinieren (durch das Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren). I 0 = 6a + 2b -> –3a = b
II –2 = a + b + c -> –2 – a – b = c
III 2 = 3a + 2b + c
II in III eingesetzt:
2 = 3a + 2b + (–2 – a – b)
2 = 2a + b – 2 | + 2
IIa 4 = 2a + b
I in IIa eingesetz:
4 = 2a + (–3a)
4 = –1a |: (–1)
–4 = a
a in I eingesetz:
–3 ∙ (–4) = b
12 = b
a und b in III eingesetz:
–2 – (–4) – 12 = c
– 10 = c
Die rekonstruierte Funktion:
f(x) = –4x³ + 12x² – 10x
Rekonstruierte Funktion rot, Wendetangente blau, Punkt O bei (0|0) eingezeichnet und Wendepunkt W bei (1|-2).
). &\text{III}\cdot (-1)\quad &-a&\, -\, &b&\, -\, &e&\, =\, &-8 &\\
&\text{IV}\quad &16a&\, +\, &8b&\, +\, &e&\, =\, &9 &\\ \hline
&\text{VI}\quad &15a&\, +\, &7b&\, \, &&\, =\, &1 &\\
Auf die fünfte und die sechste Gleichung wendet man wieder das Additionsverfahren an. Rekonstruktion mathe aufgaben 6. Jetzt müssen beide Gleichungen erst geeignet multipliziert werden. &\text{V}\cdot (-7)\quad &-224a&\, -\, &84b&\, \, &&\, =\, &-56 &\\
&\text{VI}\cdot 12\quad &180a&\, +\, &84b&\, \, &&\, =\, &12 &\\ \hline
&\quad &-44a&\, \, &&\, \, &&\, =\, &-44 &\\
Nun kann man mit dem Auflösen beginnen. Sobald man die erste Unbekannte ermittelt hat, bekommt man die weiteren Unbekannten durch Einsetzen:
$\begin{align*}&&-44a&=-44 \qquad &&|:(-1)\\ &&a&=1\\ &a \text{ in VI} &15\cdot 1+7b&=1 &&|-15\\ &&7b&=-14 &&|:7\\ &&b&=-2\\ &a, b \text{ in III}&1-2+e&=8&&|-1+2\\ &&e&=9 \end{align*}$
Die Funktionsgleichung lautet damit $f(x) = x^4-2x^3-8x+9$. Wenn auch die V. Gleichung die Unbekannte $e$ enthalten hätte, hätte man $e$ zunächst ein weiteres Mal (zum Beispiel mit III und V) eliminiert und Gleichung VII erhalten.