GRENZWERTE von gebrochen rationalen Funktionen berechnen – Verhalten im Unendlichen - YouTube
Grenzwert Gebrochen Rationale Funktionen Definition
Dazu können wir zwei Fälle unterscheiden: Merke Hier klicken zum Ausklappen Fall 1: $\; n$ und $m$ sind beide gerade oder beide ungerade: $\lim_{x \to - \infty} f(x) = \begin{cases} +\infty & \text{für} n > m & \text{und} \frac{a_n}{b_m} > 0 \\ -\infty & \text{für} n > m & \text{und} \frac{a_n}{b_m} < 0 \end{cases}$ Wer das liest, ist doof! Oder kopiert für nen Komilitonen... Grenzwert gebrochen rationale funktionen in google. :D Merke Hier klicken zum Ausklappen Fall 2: $\; n$ und $m$ sind verschieden (also einmal gerade und einmal ungerade): $\lim_{x \to - \infty} f(x) = \begin{cases} -\infty & \text{für} n > m & \text{und} \frac{a_n}{b_m} > 0 \\ +\infty & \text{für} n > m & \text{und} \frac{a_n}{b_m} < 0 \end{cases}$. Beispiel 1: Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Gegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{2x^2 - 2x - 12}{6x^2-12x}$. Gegen welchen Wert konvergiert die Funktion für $x \to \pm \infty$? Für die obige Funktion gilt, dass der Zählergrad und der Nenngrad gleich sind: $n = m$ Sowohl für minus als auch für plus unendlich strebt die Funktion gegen: $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \frac{a_n}{b_m} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Beispiel: Potenz Zähler größer als Potenz Nenner
Im nächsten Beispiel haben wir mit x 3 eine höhere Potenz im Zähler als mit x 2 im Nenner. Setzen wir für x immer größere Zahlen ein (10, 100, 1000 etc. ) wächst der Zähler wegen der höheren Potenz immer schneller, sprich das x 3 wächst schneller als x 2. Daher läuft der Bruch gegen plus unendlich. Setzt man hingegen immer negativere Zahlen ein (-10, -100, -1000 etc. ) läuft der Bruch hingegen gegen minus unendlich. Dies liegt daran, dass wenn man eine negative Zahl drei Mal aufschreibt und mit sich selbst multipliziert das Ergebnis negativ ist. Beispiel: (-10)(-10) = +100 aber (-10)(-10)(-10) = - 1000. Beispiel: Potenz Zähler so groß wie Potenz Nenner
Bleibt uns noch ein dritter Fall. Die höchsten Potenzen im Zäher und Nenner sind gleich wie im nächsten Beispiel. Hier ist eine andere Vorgehensweise nötig um den Grenzwert zu berechnen. Grenzwert gebrochen rationale funktionen definition. Dazu teilen wir jeden Ausdruck im Zähler und Nenner durch x 2. Im Anschluss überlegen wir uns, was passiert, wenn für x 2 hohe positive oder hohe negative Zahlen eingesetzt werden.