Der Begriff Kongruenz wurde von Christian Goldbach schon ab 1730 in Briefen an Leonhard Euler verwendet, jedoch ohne die theoretische Tiefe von Gauß. Im Gegensatz zu Gauß verwendete Goldbach das Symbol und nicht. [1] Auch der chinesische Mathematiker Qin Jiushao (秦九韶) kannte schon Kongruenzen und die damit einhergehende Theorie, wie aus seinem 1247 veröffentlichten Buch " Shushu Jiuzhang " ( chinesisch 數書九章 / 数书九章, Pinyin Shùshū Jiǔzhāng – "Mathematische Abhandlung in neun Kapiteln") hervorgeht. [2]
Formale Definition [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
In der Zahlentheorie wird die Kongruenz auf eine Teilbarkeitsaussage zurückgeführt. Seien dazu, und ganze Zahlen, d. h. Elemente aus. 3x 9 11 2x lösung for sale. Zwei Zahlen und heißen kongruent modulo, wenn die Differenz teilt. Zwei Zahlen und heißen inkongruent modulo, wenn die Differenz nicht teilt. Unter Verwendung der mathematischen Notation lassen sich diese beiden Aussagen wie folgt schreiben:
Restklassen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine Kongruenzrelation ist eine spezielle Äquivalenzrelation.
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Der (37, 9, 2)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 37 × 37 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 9 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 2 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 37, k = 9, λ = 2), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v, k, λ) aufgeführt. Bezeichnung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Dieser symmetrische 2-(37, 9, 2)- Blockplan wird Biplane der Ordnung 7 genannt. Eigenschaften [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 37, k = 9, λ = 2 und damit folgende Eigenschaften:
Er besteht aus 37 Blöcken und 37 Punkten. 3x 9 11 2x lösung 2019. Jeder Block enthält genau 9 Punkte. Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 2 Punkten.
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Diese Eigenschaft wird auch für den Fall gebraucht. Dann ist. Dieser Ring wird nicht als Restklassenring im engeren Sinn angesehen. Die interessanten Fälle sind die Fälle, was man als Standard annehmen kann. Der Restklassenring ist der Nullring, der nur aus einem Element besteht. Ist nicht trivial, also, dann befinden sich in einer Restklasse alle Zahlen, die den gleichen Rest bei der Division durch aufweisen. Dann entspricht auch der Absolutwert von, also, der Anzahl der Restklassen. Beispielsweise existieren für 2 die beiden Restklassen der geraden und der ungeraden Zahlen. Rechenregeln [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Im Folgenden seien,,,, und ganze Zahlen. MathemaTriX ⋅ Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher. Dabei sei, und. Dann gelten folgende Rechenregeln:
Ist ein Polynom über den ganzen Zahlen, dann gilt:
Auch bei Kongruenzen ist ein Kürzen möglich. Es gelten jedoch andere Kürzungsregeln als von rationalen oder reellen Zahlen gewohnt ( … größter gemeinsamer Teiler):
Daraus folgt unmittelbar, dass – wenn eine Primzahl und diese kein Teiler von ist – gilt:
Falls eine zusammengesetzte Zahl oder ein Teiler von ist, gilt nur:
Für jeden Teiler von folgt aus, dass.
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Dieser Artikel behandelt die Kongruenz bezüglich der Division mit Rest. Zur Kongruenz bezüglich des Flächeninhalts siehe Kongruente Zahl. Die Kongruenz ist in der Zahlentheorie eine Beziehung zwischen ganzen Zahlen. Man nennt zwei ganze Zahlen und kongruent modulo (= eine weitere Zahl), wenn sie bei der Division durch beide denselben Rest haben. Das ist genau dann der Fall, wenn sie sich um ein ganzzahliges Vielfaches von unterscheiden. Stimmen die Reste hingegen nicht überein, so nennt man die Zahlen inkongruent modulo. Jede Kongruenz modulo einer ganzen Zahl ist eine Kongruenzrelation auf dem Ring der ganzen Zahlen. Beispiele [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Beispiel 1 [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Beispielsweise ist 5 kongruent 11 modulo 3, da und, die beiden Reste (2) sind also gleich, bzw. da, die Differenz ist also ein ganzzahliges Vielfaches (2) von 3. Mathe für Angeber: Das 9 = ? - Problem: Dieses Rätsel löst ein Grundschüler spielend leicht. Sie auch? - Videos - FOCUS Online. Beispiel 2 [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Hingegen ist 5 inkongruent 11 modulo 4, da und; die beiden Reste sind hier nicht gleich.
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02. Jul 2008 17:34 die Dritte weiß ich nicht, aber bei den anderen kann ich helfen:) 2-5-11-23-47-95 (Jede Zahl immer mit 2 malnehmen und eins dazuzählen) 2*2 +1 =5, 5*2 +1 = 11, etc 2 - 12 - 6 - 30 - 25 - 100 - 96 Rechenweg: 2* 6 = 12, 12- 6 = 6, 6* 5 = 30, 30- 5 =25, 25* 4 = 100, 100- 4 =96 (Weiß nicht wie man das beschreiben könnte) 3 - 8 - 23 - 68 - 203 - 405 Rechenweg: (Diesmal kommt es wieder auf die Zwischenschritte an und nicht auf die Zahlen, die man hinschreibt) 3+ 5 = 8,,,,,,, 8+ 3*5 = 8+15 =23,,,,,,, 23+ 3*15 =23+45=68,,,,,,, 68+ 3*45 =68+135=203,,,,,,,, 203 + 3*135 =405
Sind ganze Zahlen ungleich null und ist ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches, dann gilt:
Potenzen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ist eine natürliche Zahl, dann gilt:
Sind und teilerfremd, dann gilt nach dem Satz von Euler,
wobei die Eulersche φ-Funktion bezeichnet. Daraus folgt außerdem, falls. Ein Spezialfall davon ist der kleine fermatsche Satz, demzufolge für alle Primzahlen die Kongruenz
erfüllt ist. Abgeleitete Rechenregeln [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für gilt:
Ist ein Teiler von, dann gilt:
Für jede ungerade Zahl gilt:
Für jede ganze Zahl gilt entweder oder oder. Für jede ganze Zahl gilt:
Für jede ganze Zahl gilt entweder oder. Ist sowohl eine Quadratzahl als auch eine Kubikzahl (z. B. 3x 9 11 2x lösung 6. ), dann gilt entweder oder oder oder. Sei eine Primzahl mit. Dann gilt:
Sei eine ungerade ganze Zahl. Ferner sei. Dann gilt:
Sei. Ferner seien und Primzahlzwillinge. Dann gilt:
Lösbarkeit von linearen Kongruenzen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Lineare Kongruenz [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine lineare Kongruenz der Form
ist genau dann in lösbar, wenn die Zahl teilt.