Damit lässt sich prüfen, ob ein gegebener Vektor ein Eigenvektor ist. Der Eigenvektor hat so viele Elemente, wie die quadratische Matrix Zeilen bzw. Spalten hat (im Beispiel also 2). Hat man einen Eigenvektor, ist auch jedes Vielfache (außer das 0-fache) ein Eigenvektor; so ist z. B. auch dies ein Eigenvektor zum Eigenwert 3:
$$x = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}$$
$$A \cdot x = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix}1 \cdot 5 + 1 \cdot 10 \\ 0 \cdot 5 + 3 \cdot 10 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix} 15 \\ 30 \end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}$$
Die Frage, ob es einen solchen Eigenvektor (der kein Nullvektor sein darf) gibt, heißt Eigenwertproblem. Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix lassen sich mit dem charakteristischen Polynom bestimmen. Bei einer (oberen oder unteren) Dreiecksmatrix oder eine Diagonalmatrix geht es einfacher: hier kann man die Eigenwerte einfach von der Hauptdiagonalen (von links oben bis rechts unten) ablesen.
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Er ist nur möglicherweise etwas länger oder kürzer als der Ausgangsvektor. Den Faktor, um wie viel der Vektor nach Multiplikation mir der Matrix länger oder kürzer geworden ist, nennt man Eigenwert. In einer Gleichung formuliert sieht das Ganze folgendermaßen aus:
Hier ist eine gegebene quadratische -Matrix. Die Vektoren, für die diese Gleichung gilt, heißen Eigenvektoren der Matrix. Die zugehörigen Zahlen sind ihre Eigenwerte. Die Eigenwerte lassen sich durch ein einfaches Verfahren bestimmen, wie wir in einem Artikel und Video bereits gezeigt haben. Außerdem haben wir dort auch thematisiert, dass die Gleichung als Eigenwertproblem bzw. Eigenwertgleichung bezeichnet wird. Man kann diese Gleichung auch in folgende Form bringen: Hierbei ist die -Einheitsmatrix. Wenn man nun in diese Gleichung die berechneten Eigenwerte einsetzt, erhält man ein Gleichungssystem. Mithilfe dessen lassen sich Eigenvektoren berechnen. Eigenvektoren berechnen: Gleichungssystem lösen
im Video zur Stelle im Video springen (03:42)
Wenn man nämlich die Eigenvektoren berechnen will, muss man nur noch dieses Gleichungssystem lösen.
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Auf dieser Webseite können Sie eine reelle quadratische Matrix in MATLAB-Schreibweise
eingeben. Mittels HMMatrix werden dann die inverse Matrix, die Determinante, eine
QR-Zerlegung, Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmt. Für diesen Online-Rechner wurde der
HMMatrix-Quelltext mit Emscripten (externer Link! ) von C++ nach JavaScript übersetzt. Zur Ausführung des Online-Rechners muss JavaScript
im Webbrowser aktiviert sein.
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Ob in der Physik für Differentialgleichungen, in Mathematik für Basistransformationen oder Informatik für Bildbearbeitung, früher oder später kommt jeder MINT-Student mit dem Thema Eigenwert-Rechnung in Berührung. Das ist auch kein Wunder, denn dies ist ein fundamentales Konzept der Linearen Algebra. Im folgenden möchte ich zeigen wie man Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet. Zuerst schauen wir uns an, was eine Eigenwertgleichung ist und wie ihre Komponenten bezeichnet werden. Eine Eigenwertgleichung hat folgende Gestalt:
A x ⇀ = λ x ⇀ Die Faktoren haben folgende Bedeutung:
A:= Eine quadratische Matrix (lineare Abbildung)
[rawhtml]
x ⇀:= Eigenvektor (Ein Vektor ≠ 0) [/rawhtml]
λ:= Eigenwert
Man verdeutliche sich was die Gleichung ganz formal bedeutet. Links hat man eine Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor und rechts den selbsten Vektor mit einem einfachen Skalar und beide Resultate sind gleich. Anders gesagt, mit einer (einfachen) Streckung des Eigenvektors kann das gleiche Resultat erreichen, wie mit einer (komplizierten) Matrixmultiplikation.
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λ 1 / 2 = – 4 2 ± 4 2 2 – 3
λ 1 / 2 = – 2 ± 1 Damit lauten die Eigenwerte: λ 1 =-3, λ 2 =-1. Um den Eigenvektor für λ 1 zu berechnen, setzen wir -3 in die Eigenwertgleichung ein. – 9 – 3 16 5 – – 3 1 0 0 1 x ⇀ = 0
– 9 – 3 16 5 + 3 0 0 3 x ⇀ = 0
– 6 – 3 16 8 x ⇀ = 0 Dieses Gleichungssystem kann man entweder sofort durch "hinsehen" lösen (was muss man für x 1 und x 2 einsetzen, damit Null herauskommt? ) oder nach dem Schema-F mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus. Die Zeilen der Matrix sind linear abhängig (eine Zeile ist das Vielfache der anderen), deswegen können wir eine Komponente des Lösungsvektors frei wählen. Wir wählen x 1 =1, dann muss x 2 =-2 sein, damit 1*(-6)+(-2)*(-3)=0. Damit haben wir den gesuchten Eigenvektor für λ 1 =-3. x ⇀ 1 = 1 – 2 Als nächstes wird der Eigenvektor zum Eigenwert λ 2 =-1 berechnet. Dazu setzen wir -1 in die Eigenwertgleichung ein. – 9 – 3 16 5 – – 1 1 0 0 1 x ⇀ = 0
– 8 – 3 16 6 x ⇀ = 0 Auch hier sieht man, dass die beiden Zeilen linear abhängig sind, wir wählen x 1 =1, dann muss x 2 =-8/3 sein.
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Mit diesem Rechner können Sie die Eigenvektoren und Eigenwerte mithilfe der charakteristischen Gleichung berechnen. Mehr:
Als Dezimalbruch ausgeben
Lassen Sie alle nicht benötigten Felder leer um nichtquadratische Matrizen einzugeben. Auf die Matrixelemente können Sie Dezimalbrüche (endliche und periodische) wie: 1/3, 3, 14, -1, 3(56) oder 1, 2e-4 sowie arithmetische Ausdrücke wie: 2/3+3*(10-4), (1+x)/y^2, 2^0, 5 (= 2), 2^(1/3), 2^n, sin(phi) oder cos(3, 142rad) anwenden. Verwenden Sie die ↵ Enter-Taste, Leertaste, ← ↑ ↓ →, ⌫ und Delete, um zwischen den einzelnen Zellen zu navigieren, und Ctrl ⌘ Cmd + C / Ctrl ⌘ Cmd + V, um Matrizen zu kopieren. Sie können die berechneten Matrizen per ( drag and drop) oder auch von/in einen Text-Editor kopieren. Noch mehr Wissen über Matrizen finden Sie auf Wikipedia. Beispiele
Find eigenvectors of ({{-26, -33, -25}, {31, 42, 23}, {-11, -15, -4}})
Beweis:
Es sei ein Eigenvektor X zum Eigenwert l einer Matrix A gegeben. Dann gilt für jeden reellen Faktor \(k \ne 0\):
\(A \cdot kX = kA \cdot X\)
Gl. 256
Nach der Bestimmungsgleichung für Eigenwerte Gl. 247 kann die rechte Seite ersetzt werden
\(kA \cdot X = k\lambda X\)
Gl. 257
Einsetzen in Gl. 256
\(A \cdot kX = k\lambda X = \lambda (kX)\)
Gl. 258
Das Vertauschen der Faktoren auf der rechten Seite ändert den Wert nicht! Damit liegt wieder die Bestimmungsgleichung des Eigenwertes Gl. 247, allerdings für den Eigenvektor kX vor. Also ist kX ebenso Eigenvektor von A wie X selbst. Von dieser Eigenschaft wird Gebrauch gemacht, um Eigenvektoren auf ihren Betrag zu normieren. Der normierte Eigenvektor \(\overline X \) wird entsprechend Gl. 259
\(\overline X = \frac{X}{ {\left| X \right|}} = \frac{X}{ {\sqrt {\sum {x_i^2}}}}\)
Gl.
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Weiterlesen. Umgebung // Standort
Haus LoLa liegt im Landkreis Hersfeld-Rotenburg und gehört zur Kleinstadt Kirchheim. Das Haus befindet sich ca. 5 km von der Autobahnausfahrt A5 Kirchheimer Dreieck entfernt. Weiterlesen. Aktivitäten // Ausflüge
Mit Haus LoLa habt ihr einen idealen Ausgangspunkt für einen Aktiv- oder Kultururlaub. Wandern, Fahrrad- oder Motorradtouren und Wassersporte gehören zum nahen Angebot, und nicht zu vergessen Golf. Zudem, liegen rings um Kirchheim verschiedene Klein- und Großstädte, die kulturelle und gastronomische Vielfalt für einen kompletten Urlaub bieten. Weiterlesen. Projekte
Wie jedes große Projekt, ist auch Haus LoLa ein lebendiges und noch unvollständiges Projekt, das Zeit braucht, um das Ziel zu erreichen, das wir uns zu Anfang gesetzt haben… Weiterlesen. Ihr seid noch in der Startseite von eurem Ferienhaus im Wald am See: Haus LoLa. # Challenges
Wir lieben Spiele, wir glauben, dass wir aufhören, Kinder zu sein, nicht weil wir erwachsen werden, sondern weil wir aufhören zu spielen, deshalb schlagen wir die folgenden Herausforderungen vor, um nicht mit dem Spielen aufzuhören… Weiterlesen.
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