Beispiel 2:
g(x) = 2 · (x + 1) 2 + 7
Vorsicht: Beachte die Vorzeichen der Zahlen! Statt (x + 1) musst du wie in der allgemeinen Form ein Minus in der Klammer haben, um d zu bestimmen. Du schreibst also: (x – ( -1)). Dadurch siehst du, dass d = -1 ist. Der Scheitelpunkt der Funktion liegt also bei S ( -1 | 7). Die Funktion ist nicht in der Scheitelpunktform gegeben? Dann kannst du sie durch die quadratische Ergänzung
oder mithilfe von Ausmultiplizieren, Ausklammern
oder den binomischen Formeln
umformen. Bestimmung mithilfe der allgemeinen Form
Auch wenn du die allgemeine Form gegeben hast, kannst du den Scheitelpunkt der Funktion bestimmen. Merke dir dazu:
allgemeine Form: f(x) = a x 2 + b x + c
Scheitelpunkt: S
f(x) = 3x 2 + 2x + 1
Um den Scheitelpunkt zu bestimmen, gehst du in 3 Schritten vor:
1. Bestimme a, b und c der Funktion:
f(x) = 3 x 2 + 2 x + 1
a = 3, b = 2, c = 1
2. Setze die Werte in die Formel für den Scheitelpunkt ein:
3. Aufgaben: Scheitelform und allgemeine Form gestreckter Parabeln. Vereinfache
die Terme in der Klammer:
Super! So bestimmst du mit der allgemeinen Form den Scheitelpunkt!
Oft ist es notwendig eine gegebene quadratische Funktion von einer Darstellungsform in eine andere umzurechnen. Zum Beispiel wenn wir unterschiedliche Funktionen vergleichen wollen ist es sinnvoll diese vorher in eine einheitliche Darstellungsform zu bringen. Normalform in Scheitelpunktform (Umwandlung). Von der Normalform in die Scheitelpunktform
Wenn wir eine Funktion von der Normalform in die Scheitelpunktform umformen möchten, benötigen wir die quadratische Ergänzung. Diese ist in dem gleichnamigen Kapitel erklärt. Der Einfachheit halber beginnen wir hier mit einem Beispiel bei dem der Öffnungsfaktor a gleich eins ist, er kann also weggelassen werden. Wir beginnen also mit der Normalform:
Der erste Schritt ist die quadratische Ergänzung:
Wir ersetzen nun den ersten Teil durch die binomische Formel und erhalten dadurch bereits die Scheitelpunktform
Beim vergleich von
mit
Stellen wir fest, dass
ist. Unser Lernvideo zu: Normal- und Scheitelpunktform umrechnen
Beispiel 1
Wir möchten folgende quadratische Funktion von der Normalform in die Scheitelpunktform umformen.
Von Normal Form In Scheitelpunktform Aufgaben In Deutsch
Beispiel:
\(y=x^2+2\)
stelle die Funktionsgleichung in die Normalform um. In dem Fall sind Normalform und Scheitelpunktform der Parabel identisch. Die Funktionsgleichung ist damit bereits in der Normalform angegeben. This browser does not support the video element.
Wir müssen das Vorzeichen in der Klammer umdrehen um die x-Koordinate des Scheitelpunkts zu erhalten, da in der normalen Scheitelpunktform in der Klammer ein Minuszeichen steht. Man könnte es auch folgendermaßen schreiben:
Die beiden Minuszeichen werden nun zu einem Pluszeichen, trotzdem ist der Scheitelpunkt bei x = -4. An dem Vorfaktor a = -1 kann man ablesen, dass Die Parabel außerdem nach unten geöffnet und nicht gestaucht oder gestreckt ist. Unser Lernvideo zu: Darstellungsformen – Normalform / Scheitelpunktform / Faktorisierte Form
Die Normalform
Die Normalform sieht folgendermaßen aus:
f(x) = ax² + bx + c
a: Wie bei der Scheitelpunktform ist dies der Faktor der angibt ob die Parabel gestaucht oder gestreckt ist und ob sie nach oben oder nach unten geöffnet ist. Normal- und Scheitelpunktform umrechnen ⇒ Erklärung. b: Dieser Faktor gibt die Steigung am y-Achsenabschnitt an. Allerdings ist dieser Wert meistens von eher geringerer Bedeutung. c: Gibt den y-Achsenabschnitt an. Also den Punkt an dem die y-Achse geschnitten wird. Ohne die Funktion zu zeichnen können wir schon einige Aussagen über sie treffen.
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