Wichtige Inhalte in diesem Video
In diesem Artikel erklären wir dir alles Wichtige zur e Funktion, samt ihren Eigenschaften, Rechenregeln und vielen Beispielen. Eine tabellarische Zusammenfassung der wichtigsten Punkte findest du am Ende des Artikels. Du willst direkt sehen, was es mit der e Funktion auf sich hat? Dann schau dir einfach unser Video
an. e Funktion einfach erklärt im Video zur Stelle im Video springen (00:14)
Die e Funktion ist eine Exponentialfunktion
zur Basis. Sie ist in der Mathematik so wichtig, dass sie auch als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet wird. Ihre Funktionsgleichung lautet
e Funktion
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Funktionsgraph der e Funktion
Achtung: Lass dich von dem e nicht verwirren! Dabei handelt es sich um eine ganz normale Zahl, ähnlich wie bei! Berechnung von Schnittpunkten bei der Exponentialfunktion - YouTube. Die Zahl e im Video zur Stelle im Video springen (00:34)
Die Basis e der natürlichen Exponentialfunktion ist in vielerlei Hinsicht besonders. Entdeckt wurde sie 1748 von dem bedeutenden Mathematiker Leonard Euler, als er versuchte, den Grenzwert einer unendlichen Reihe zu berechnen:
Die Fakultät berechnet man immer als.
- Berechnung von Schnittpunkten bei der Exponentialfunktion - YouTube
- Schnittpunkt von zwei Exponentialfunktionen - mit Aufgabe+Lösung | LehrerBros - YouTube
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Berechnung Von Schnittpunkten Bei Der Exponentialfunktion - Youtube
Lesezeit: 1 min
Video
Schnittpunkte von 2 Potenzfunktionen
Haben wir zwei Potenzfunktionen f(x) und g(x) gegeben und wollen deren Schnittpunkte finden, so machen wir Folgendes:
1. Wir setzen die Funktionen gleich. 2. Wir klammern das x mit dem geringerem Exponenten aus. Wir erhalten ein Produkt. 3. Wir bestimmen die Nullstellen der einzelnen Faktoren des Produktes. (Eventuell mit p-q-Formel oder Lösungsverfahren einer kubischen Gleichung
oder ähnlichem. ) 4. Schnittpunkt von zwei Exponentialfunktionen - mit Aufgabe+Lösung | LehrerBros - YouTube. Fertig!
Schnittpunkt Von Zwei Exponentialfunktionen - Mit Aufgabe+Lösung | Lehrerbros - Youtube
Lesezeit: 5 min
1. Besondere Punkte
Werte an der Stelle 0:
Der y-Wert an der Stelle x = 0 ist stets y = 1. Der Grund hierfür:
f(x) = a x | x = 0 f(0) = a 0 f(0) = 1
Dies gilt für jede Exponentialfunktion. Damit ist der Punkt S(0|1) für jede Exponentialfunktion "gemeinsamer Punkt". Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist immer der Punkt S(0|1). ~plot~ 2^x;3^x;4^x;5^x;1;zoom[ [-2|3|-2|6]] ~plot~
Werte an der Stelle 1:
f(x) = a x | x=1 f(1) = a 1 f(1) = a
Dies gilt für jede Exponentialfunktion. Damit gilt Punkt P(1|a) für jede Exponentialfunktion. Wenn wir wissen wollen, welche Basis die Exponentialfunktion hat, können wir dies bei x = 1 tun. ~plot~ 2^x;3^x;4^x;5^x;x=1;zoom[ [-3|4|-5|6]] ~plot~
2. Definitionsbereich
Definitionsbereich: x ∈ R
Wertebereich: y kann nie negativ werden, da a x bei a > 1 nie negativ wird. Auch wenn x negativ ist, zum Beispiel a -4 erhalten wir einen positiven Wert mit \( \frac{1}{a^4} \). 3. Monotonie
Streng monoton steigend, wenn a > 1
~plot~ 2^x ~plot~
Streng monoton fallend, wenn 0 < a < 1
~plot~ 0.
Laut einem der Wurzelgesetze gilt: $(-2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-2}$. Für negative Radikanden ist das Wurzelziehen allerdings nicht definiert! Definitionsmenge Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$ -Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen. In Exponentialfunktionen dürfen wir grundsätzlich alle reellen Zahlen einsetzen: Wertemenge Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist die Menge aller $y$ -Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann. Bei Exponentialfunktionen kommt am Ende immer eine positive reelle Zahl heraus: Graph Die Exponentialkurven unterscheiden sich danach, ob die Basis $a$ zwischen $0$ und $1$ liegt oder größer als $1$ ist. Basis $a$ zwischen 0 und 1 Beispiel 2 $$ f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x $$ Um den Graphen sauber zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte: $$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c} \text{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{y} & 8 & 4 & 2 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ \end{array} $$ Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $$ f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x $$ Wir können einige interessante Eigenschaften beobachten: Je größer $x$, desto kleiner $y$ $\Rightarrow$ Der Graph ist streng monoton fallend!
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