Das heißt, es ist das Maß, das Intervallen ihre Länge zuordnet (im Eindimensionalen), Rechtecken ihren Flächeninhalt zuordnet (im Zweidimensionalen), Quadern ihr Volumen zuordnet (im Dreidimensionalen) usw. Durch diese Bedingung wird der Inhalt beliebiger Borel-Mengen eindeutig festgelegt. Die Borel-Mengen werden auch Borel-messbar oder B-messbar genannt. Das Borel-Maß ist bewegungsinvariant und normiert, aber nicht vollständig. Bezug nach Maß Rechteck mit Abschnitt - Topschaum.de. Die Existenz des Lebesgue-Borel-Maßes wurde im Eindimensionalen zum ersten Mal von Émile Borel 1895 bewiesen, eine modernere Konstruktion über den Maßerweiterungssatz geht auf Constantin Carathéodory (1918) zurück. [2]
Das Lebesgue-Maß ist das vollständige Maß, das man aus diesem Maß erhält, wenn man zu alle Mengen hinzufügt, die zwischen zwei Borel-Mengen liegen (), welche denselben Inhalt haben, genauer, und so festlegen. Die Mengen, für die das Lebesgue-Maß auf diese Weise definiert ist, heißen Lebesgue-messbar (oder L-messbar) und bilden die Lebesgue- -Algebra.
Bezug Nach Maß Rechteck Mit Abschnitt - Topschaum.De
Insbesondere ist es translationsinvariant, das bedeutet, dass sich das Maß einer Menge unter Translation nicht ändert. Zudem ist es invariant unter Spiegelungen und Drehungen, also sogar bewegungsinvariant. Das Lebesgue-Maß ist σ-endlich und regulär. Charakterisierung der Lebesgue-Messbarkeit [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine Teilmenge des ist Lebesgue-messbar genau dann, wenn sie die folgende charakteristische Eigenschaft aufweist: [6]
Zu jeder vorgegebenen Schranke gibt es im stets eine offene Menge sowie eine abgeschlossene Menge mit
und. Konstruktion des Lebesgue-Maßes [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine mögliche Definition des Lebesgue-Maßes ist die Konstruktion von Carathéodory. Sei die Menge der dyadischen Elementarzellen und das Volumen von; da diese Mengen nur aus Produkten von Intervallen bestehen, definiert man das Volumen einfach als Produkt der einzelnen Seitenlängen. ist ein Halbring und ein -endlicher Inhalt, also ein Prämaß. Dieses Prämaß wird auch das Lebesguesche Prämaß genannt.
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