Punktweise Konvergenz, gleichmäßige Konvergenz, Konvergenz im quadratischen Mittel - YouTube
Konvergenz Im Quadratischen Mittel 3
Reelle Fourierreihe - Konvergenz im quadratischen Mittel
Es gilt erfreulicherweise folgender Satz:
Theorem Die Fourierreihe jeder
2
τ
-periodischen, über das Intervall
[
-
τ,
+
τ]
integrierbaren Funktion
f
von
ℝ
nach
konvergiert im quadratischen Mittel gegen
f.
Der am Beweis interessierte Leser sei auf eine Extraseite - wo
allerdings nur ein etwas schwächeres Resultat, die so genannte Bessel´sche
Ungleichung, bewiesen wird - und auf die Literaturseite verwiesen. Bilden wir also gemäß Gleichung (Reelle Fourierreihe - Berechnung der Koeffizienten) die
Fourierkoeffizienten
a
0,
1,
2,
3,
…,
b
…
und dann für jedes
N
∈
ℕ
gemäß Gleichung (Reelle Fourierreihe - Einführung) die Funktion
N, so geht die Größe (Reelle Fourierreihe - Konvergenzbegriffe bei Funktionenfolgen), anschaulich
die "mittlere quadratische Abweichung" zwischen
und
f, für unendlich werdendes
gegen 0. Dies läst sich durch ein Resultat ergänzen, das deshalb interessant ist,
weil es etwas über die Approximation von
durch
bei endlichem
aussagt.
Konvergenz Im Quadratischen Mittel 9
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Konvergenz Im Quadratischen Mittel E
29. 2010, 21:23
Nach nochmaligem nachdenken:
Solange man das verhältnis zwischen den und nicht kennt wird es leider auch so nichts. Da kann man für jede Folge eine -verteilte Zufallsvariable erzeugen für die nicht gilt, dass die gegen konvergieren. (Es seidenn Arthur hat recht und die Aufgabenstellung müsste Umformuliert werden... dann kann man wieder was machen)
- Man weißt also zunächst die gleichgradige integrierbarkeit nach
Dann wendet man die Markovungleichung an und erhält für
Edith: Unsinn entfernt *hust*
28. 2010, 16:47
AD
Die Voraussetzungen sagen nur etwas über die Einzelverteilungen der aus, aber nichts über deren gemeinsame Verteilung - ja nicht einmal Korreliertheit - aus. Demzufolge kann man aus diesen Voraussetzungen nicht mal folgern, dass die Folge überhaupt konvergiert, dann macht auch die Frage nach der Grenzverteilung keinerlei Sinn. Selbst in dem einfachen Fall für alle gibt es im Fall der Unabhängigkeit aller keinen "Grenzwert". Konvergenz im quadratischen Mittel - Lexikon der Mathematik. Meines Erachtens macht die Aufgabe also nur umgekehrt einen Sinn:
Du hast die Folge mit sowie und weißt außerdem, dass es eine Zufallsgröße gibt, gegen die (in einem noch zu spezifierenden Sinn) konvergiert. Dann kannst du nachweisen, dass gilt. 28. 2010, 21:07
Ohne die gemeinsame Verteilung zu kennen wirds also nichts. Ich kenne die gemeinsame Verteilung der (multivariat Normalverteilt). Hilft das weiter?
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