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Private Lehrkräfte (m/w/d) für Estnisch in Regensburg gesucht
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Private Lehrkräfte (m/w/d) für Statistik in Regensburg gesucht
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Lehrkraft für das Fach Kunstpädagogik
in Vollzeit (24, 0 Unterrichtsstunden/Woche).
Beispiele: a) b) Zusammenfassung der Potenzgesetze: Potenzen mit: gleichen Basen werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert. gleichen Basen werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert. ungleichen Basen aber gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und das Produkt mit dem Exponenten versieht. ungleichen Basen aber gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Quotineten mit dem Exponenten versieht. Potenzen werden potenziert, indem man ihre Exponenten multipliziert. Jede Wurzel kann als Potenz mit gebrochenem Exponenten geschrieben werden. Der Potenzwert einer Potenz mit dem Exponenten 0 ist stets 1. Bildet man den Kehrwert einer Potenz, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten. Tipps bei Berechnungen mit Wurzeln Faktor aus der Wurzel ziehen Beispiele: a) b) Den Nenner wurzelfrei machen Beispiele: a) b) Aufgaben hierzu: Potenzen I Potenzen vereinfachen Hier finden Sie weitere Aufgaben und eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Potenzen und zu anderen mathematischen Grundlagen.
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Verschiebungen auf der x- und y- Achse: f 2 (x) entstanden aus f 1 (x) durch: Verschiebung auf der x- Achse um eine Einheit nach rechts. Verschiebung auf der y- Achse um zwei Einheiten nach oben. f 2 (x) entstanden aus f 1 (x) durch: Verschiebung auf der x- Achse um zwei Einheit nach links. Verschiebung auf der y- Achse um eine Einheiten nach unten. Hier finden Sie Trainingsaufgaben hierzu und weitere Aufgaben: Potenzen VIII Potenzen mit e-Funktionen Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Fortgeschrittene Differential- und Integralrechnung, dort auch Links zu weiteren Aufgaben.
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Potenzgesetz - Teil 2 Willst du Potenzen mit gleichem Exponenten dividieren, dividiere die Basen und behalte den Exponenten unverändert bei. $$a^n:b^n=(a^n)/(b^n)=(a/b)^n=(a:b)^n$$ Für die Multiplikation von Brüchen gilt $$ ("Zähler mal Zähler") / (\text{Nenner mal Nenner $$ Mit Tricks arbeiten Manchmal ist bei Aufgaben nicht ganz offensichtlich, wie du welche Regel nimmst. Forme dann den Term so um, dass du die Regel gut anwenden kannst. Beispiel 1: $$2^2*3^(-2) =2^2*1/3^2=( 2*2)/(3*3)$$ $$= 2 * 2* 1/3*1/3=2*1/3*2*1/3=2/3*2/3=(2/3)^2 $$ └───────────────────┘ └────────┘ Reihenfolge vertauschen umschreiben Oder einfach: $$2^2*3^(-2) =2^2/3^2=(2/3)^2 $$ Schreibe die Aufgabe "passend" für die Regel. Beispiel 2: Mit Variablen Ziemlich umständlich: $$x^3:y^(-3) = x^3*1/y^3=(x*x*x)*1/(y*y*y)$$ $$=(x*x*x)/(y*y*y)=x/y*x/y*x/y=(x/y)^3$$ Oder einfach: $$x^3*y^(-3)=x^3/y^3=(x/y)^3$$ kann mehr: interaktive Übungen und Tests individueller Klassenarbeitstrainer Lernmanager Und noch ein Trick! Du kennst die Aufgabenstellung: "Vereinfache so weit wie möglich. "
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Potenzen mit gleichem Exponenten dividieren
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Merke
Hier klicken zum Ausklappen Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man ihre Basen dividiert und den Exponenten beibehält. $\frac{a^m}{b^m} = (\frac{a}{b})^m $
Beispiel
Hier klicken zum Ausklappen (1) $\frac{6^4}{2^4} = (\frac{6}{2})^4 = 3^4 $
(2) $\frac{(-9)^3}{3^3} = (\frac{(-9)}{3})^3 = (-3)^3= -3^3 $
(3) $ 2^5 = (\frac{6}{3})^5 = \frac{6^5}{3^5}$
(4) $ 2^5 = (\frac{12}{6})^5 = \frac{12^5}{6^5}$
Herleitung anhand eines Beispiels
Nach demselben Prinzip leiten wir uns eine Regel zur Division her:
$\frac{2^3}{3^3} = \frac{2\cdot 2\cdot 2}{3\cdot 3\cdot3} = (\frac{2}{3})^3 $
Du hast jetzt viele verschiedene Möglichkeiten kennengelernt, um mit Potenzen zu rechnen. Behalte die grundsätzlichen Regeln immer im Hinterkopf, da du oft auf Aufgaben stoßen wirst, die sehr kompliziert aussehen:
$ x^{2n+1}\cdot x^{n-3} = x^{(2n+1) + (n-3)} = x^{3n-2}$
Egal wie kompliziert die Aufgabe aussieht, die Regeln sind immer die gleichen!
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Somit geht die Funktion für Werte größer 1 und kleiner -1 ins Unendliche. Potenzreihen Beispiele
Sehen wir uns doch an dieser Stelle mal ein Beispiel an:
Alternativ könnten wir die Potenzreihe auch so schreiben:
Für diese Potenzreihe p wollen wir den Konvergenzradius bestimmen und nehmen dafür das Quotientenkriterium. Dann setzen wir und ein. Nach dem umformen sieht der Term folgendermaßen aus. Aufgrund der Betragsstriche fallen die Vorfaktoren und weg. Die Betragsstriche können ebenfalls weggelassen werden. Der Grenzwert ist somit 1. Nun musst du die Randpunkte -1 und 1 untersuchen:
Potenzreihen Beispiele: Randpunkt -1
Setze in die Potenzreihe ein und fasse es mit dem anderen Faktor zusammen. ergibt 1. Es ergibt sich die harmonische Reihe. Die ist bekanntlich divergent. Jetzt musst du noch einsetzen. Potenzreihen Beispiele: Randpunkt 1
Du kannst einfach weglassen. Jetzt ziehen wir noch den Vorfaktor -1 aus der Summe, um den Grenzwert besser bestimmen zu können. Es ergibt sich dann die alternierende harmonische Reihe.
In diesem Beitrag geht es um Exponentialfunktionen. Außerdem um die Zahl e als Basis der e-Funktion, deren graphische Darstellung, Spiegelung, Verschiebung, Streckung und die wesentlichen Eigenschaften dieser Funktion. Definition Exponentialfunktion Beispiele Graphen von Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen Die Zahl e mit Hilfe der Zinseszinsrechnung entwickeln Der Wert von e Spiegelung, Verschiebung und Streckung der e-Funktion Links zu Trainingsaufgaben Bei den bisher betrachteten Funktionen traten Exponenten nur als Zahlen auf. Definition Exponentialfunktionen: Es gibt jedoch auch Funktionen mit positiver Basis, bei denen die unabhängige Variable x als Exponent auftritt. Diese nennt man Exponentialfunktionen. Hier einige Beispiele für Exponentialfunktionen: Die Zahlen 1, 5; 2; 2, 5; e und 3 bilden hierbei die Basen und x den Exponenten. Die Basis e ist als Eulersche Zahl bekannt und hat näherungsweise den Wert 2, 71828. Im Folgenden wird sie noch eine wichtige Rolle spielen.