Aufgabe:
Sei a eine ganze Zahl. Beweisen Sie: Für alle n ∈ ℕ = {1, 2, 3,... } gilt:
(a-1) | (a n -1)
Ich würde hierfür die vollständige Induktion nehmen. IA:
(a - 1) | (a 1 - 1) = (a - 1)
Das ist offensichtlich wahr. IV: (a-1) | (a n -1) ist wahr für ein n aus ℕ. IS: Zu zeigen: dass es für n + 1 gilt, wenn es für ein n gilt
das macht mir jetzt irgendwie Schwierigkeiten. Also ich muss ja n mit n+1 ersetzen. Vollständige induktion übungen mit lösung. Also: a^(n+1)-1 ist durch (a-1) teilbar
Wie kann ich das beweisen? Junior Usermod
Community-Experte
Mathematik, Mathe
Hallo,
a^(n+1) ist a*a^n. a*a^n=(a-1+1)*a^n=(a-1)*a^n+a^n. a^(n+1)-1 ist also (a-1)*a^n+a^n-1. a^n*(a-1) teilt a-1, denn es ist ein ganzzahliges Vielfaches davon. a^n-1 teilt laut IV a-1, kann also durch k*(a-1) ersetzt werden. a^(n+1)-1 ist also gleich a^n*(a-1)+k*(a-1)=(a^n+k)*(a-1) und damit ein ganzzahliges Vielfaches von a-1. Herzliche Grüße,
Willy
Hinweis:
Darin findest du nun a^n - 1 wieder und kannst nach Induktionsvoraussetzung nutzen, dass a^n - 1 durch a - 1 teilbar ist, es also eine ganze Zahl k mit a^n - 1 = k * (a - 1) gibt.
Vollständige Induktion Übungen Mit Lösung
Es gibt dann also eine ganze Zahl k mit...
Versuche damit nun weiter zu zeigen, dass es eine ganze Zahl k' gibt, sodass
ist, womit du dann gezeigt hättest, dass dann auch a^(n+1) - 1 durch a - 1 teilbar ist. ============
Hier ein kompletter Lösungsvorschlag zum Vergleich:
Eine ähnliche Lösung könnte so aussehen:
Hier wurde aus dem a^(n+1) ein a rausgezogen, und eine 0 eingefügt (das +a - a). Dann kann die Induktionsvoraussetzung verwendet werden. Vollständige Induktion, Beispiel 1, Mathehilfe online, Erklärvideo | Mathe by Daniel Jung - YouTube. Woher ich das weiß: Beruf – pädagogischer Assistent für Mathematik
Vollstaendige Induktion Übungen
"Bei einer Planke drückt die Schwerkraft direkt in den unteren Rücken, beim Pallof Press seid ihr also in einer sichereren Position", so Tamir. Wenn ihr allerdings Probleme mit den Knien habt, solltet ihr die kniende "Pallof Press" vermeiden und stattdessen eine stehende oder sitzende Variante wählen, fügt er hinzu. Vermeidet Drehbewegungen
Die Vorteile des "Pallof Press" ergeben sich aus dem Widerstand gegen den Zug des Bandes. Das heißt ein Drehen oder Kippen während der Bewegung kann der Übung den Zweck nehmen, erklärt Tamir. "Die Positionierung ist wirklich wichtig. Drückt euch direkt nach vorne", sagt er. Wenn ihr merkt, dass ihr euch in der Hüfte oder im Rumpf dreht oder die Arme nicht vollständig durchstrecken könnt, startet laut Tamir ihr vielleicht zu intensiv und solltet lieber eine skalierte Version der Bewegung üben, um die richtige Form zu finden. Vollstaendige induktion übungen . Wenn die Ausführung einer "Palloff-Presse" eine Herausforderung darstellt, solltet ihr die Übung skalieren, indem ihr eine ruhige oder isometrische Haltung einnehmt.
Vollständige Induktion Übung Mit Lösung
Wer Übungen zur Straffung des Körpers als lästig empfindet, kann mit der "Pallof Press" immerhin viele Muskelgruppen auf einmal trainieren. getty images
Die "Pallof Press" ist eine Core-Übung, die die gesamte Muskulatur an Bauch, Gesäß und Rücken trainiert. Die Übung ist möglicherweise effektiver als eine Plank, da sie die Handgelenke und den unteren Rücken weniger belastet. Wichtig ist, dass ihr die "Pallof Press" akkurat ausführt: Dazu solltet ihr Drehungen vermeiden und die Übung durch eine statische Haltung intensivieren. Einem Personal Trainer zufolge müsst ihr keine Plank-Übungen machen, um einen starken, geformten Bauch zu bekommen. Vollständige Induktion – Erklärung an der Gauß'schen Summenformel inkl. Übung. Planks können zwar Muskeln aufbauen, aber eine andere, unterschätzte Übung namens "Pallof Press" ist laut Noam Tamir, Gründer und CEO von "TS Fitness" in New York City, genauso gut oder sogar besser für das Training der Bauchmuskeln. "Die Übung bezieht den ganzen Körper mit ein, aber man spürt es wirklich in der Körpermitte", erklärt er. Beim "Pallof Press" müsst ihr euch mit einem Kraftband vor euch abstützen, was eure Bauchmuskeln, euren Unterkörper, eure Arme und euren Rücken dazu zwingt, zusammenzuarbeiten.
Also lässt sich die zu beweisende Formel auch so schreiben:
$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{n \cdot(n+1)}{2} + (n+1) \end{aligned}$
Die Gleichung lässt sich nun umformen:
$\begin{array}{rclcl}
\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1} k \end{aligned}&=& \frac{n \cdot(n+1)}{2} + (n+1)&\vert&\text{auf einen Nenner bringen}\\
&=&\frac{n \cdot(n+1)}{2} + \frac{2 \cdot (n+1)}{2}&\vert&\text{gemeinsamer Bruch}\\
&=&\frac{n \cdot (n+1) + 2 \cdot (n+1)}{2}&\vert&(n+1)~\text{ausklammern}\\
&=&\frac{(n+1)\cdot(n+2)}{2}&\vert&(n+2)~\text{umformen}\\
&=&\frac{(n+1)\cdot((n+1)+1)}{2}&&\\
&&\text{q. }&&
Induktionsschluss
In der letzten Zeile der Gleichungsumformung ist genau das zu sehen, was gezeigt werden sollte. Vollständige induktion übung mit lösung. Es gilt also:
für alle $n \in \mathbb{N}$
Verwendung – Induktionsbeweis
Der Induktionsbeweis ist eine von vielen Beweismethoden in der Mathematik. Es lässt sich vergleichsweise einfach zeigen, dass eine bestimmte Aussage für alle natürlichen Zahlen gilt. Der wahrscheinlich schwierigste Teil dieser Beweismethode ist der Induktionsschritt.