Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein Algorithmus aus den mathematischen Teilgebieten der linearen Algebra und der Numerik. Es ist ein wichtiges Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. Das Verfahren wurde um 1850 von Carl Friedrich Gauß bei Arbeiten auf dem Gebiet der linearen Gleichungssysteme entwickelt, allerdings hatte der chinesische Mathematiker Liu Hui bereits im Jahr 263 eine Beschreibung des Lösungsschemas veröffentlicht. Erklärung
Ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen bzw. Gauß-Jordan-Algorithmus - Matheretter. Unbekannten (x, y, z) und den jeweiligen Koeffizienten a, b, c, e hat die Form:
a 1 x + a 2 y + a 3 z = e 1 a_1x+a_2y+a_3z = e_1;
b 1 x + b 2 y + b 3 z = e 2 b_1x+b_2y+b_3z = e_2;
c 1 x + c 2 y + c 3 z = e 3 c_1x+c_2y+c_3z = e_3. Der Algorithmus zur Berechnung der Variablen x, y x, \, y und z z lässt sich in zwei Etappen einteilen:
Vorwärtselimination,
Rückwärtseinsetzen (Rücksubstitution). Im ersten Schritt wird das Gleichungssystem durch Äquivalenzumformungen, bei denen die Informationen des Gleichungssystems nicht geändert werden, in die Stufenform gebracht.
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Damit auch in diesem Eintrag der Matrix eine Null steht, ziehst du nun die Hälfte der zweiten Zeile von der dritten ab ( I I I − 1 2 ⋅ I I) \left( \mathrm{III} - \frac12 \cdot\mathrm{II}\right): Damit ist deine Matrix jetzt in Zeilenstufenform, damit kannst du jetzt leicht die Lösung des Gleichungssystems bestimmen. Wie das geht, siehst du am besten, wenn du die Matrix nun wieder in der ursprünglichen Darstellung betrachtest: Indem du Gleichung I I I \mathrm{III} durch − 3 -3 teilst, erhältst du für z z die Lösung z = 2 \mathbf{z = 2}. Gauß-Jordan-Algorithmus - Abitur Mathe. Diesen Wert kannst du nun in die anderen beiden Gleichungen einsetzen: Hier kannst du jetzt Gleichung I I \mathrm{II} lösen, indem du erst 2 2 subtrahierst: − 7 y = 7 -7y = 7 und dann durch − 7 -7 teilst: y = − 1 \mathbf{y = -1}. Auch diesen Wert kannst du jetzt in Gleichung I \mathrm{I} einsetzen: Wenn du diese Gleichung nach x x auflöst, erhältst du x = 1 x = 1. Die Lösung des Gleichungssystems ist also insgesamt: Gauß-Jordan-Verfahren Das Gauß-Jordan-Verfahren ist eine Abwandlung des Gaußverfahrens.
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Dazu multipliziert man den Vektor mit und bekommt als Ergebnis:. Aus unserem Beispiel:
Die Transformationsmatrix von B nach A kann nach einer einfachen Regel ausgerechnet werden.
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Auf dieser Seite kann der Gau-Jordan-Algorithmus zum Lsen von linearen Gleichungssystemen
mit der (gegebenenfalls erweiterten) Koeffizientenmatrix interaktiv gebt werden. Bei unterbestimmten Gleichungssystemen
kann abschlieend die Lsung parametrisiert werden (z. B. fr die Schnittgerade zweier Ebenen). Geben Sie selber eine Matrix ein oder lassen Sie eine fr einen typischen Kontext erzeugen. Gauß jordan verfahren rechner biography. Man mu stets angeben, welche Umformungen durchgefhrt werden sollen. Diese knnen dann entweder vom Programm ausgefhrt
oder selbst vorgenommen werden. Wahlweise wird die Sinnhaftigkeit der Schritte beurteilt. Die Zeilen werden in den Umformungsangaben mit rmischen Ziffern referenziert, deren Vielfache mit normalen Ziffern. Man schreibt rechts neben die Zeile die gewnschte Operation. Beispiele: +3II (addiert das Dreifache der 2. Zeile zur aktuellen Zeile),
2I-5III (subtrahiert das 5fache der 3. Zeile vom 2fachen der 1.
length! = n) { // Falls abweichende Zeilenlänge...
System. out. println ( "Matrix nicht quadratisch! "); // Fehlermeldung
return null; // Rückgabewert}}
// Dimensionsprüfung für Vektor:
if ( v. length! = n) { // Falls falsche Dimension...
System. println ( "Dimensionsfehler! Gauß jordan verfahren rechner 2020. "); // Fehlermeldung
return null; // Rückgabewert}
// Erweiterte Koeffizientenmatrix:
double [][] a = new double [ n][ n + 1]; // Neues Array
for ( int j = 0; j < n; j ++) // Für alle Spaltenindizes...
a [ i][ j] = m [ i][ j]; // Element der Koeffizientenmatrix übernehmen
a [ i][ n] = v [ i]; // Element des Vektors übernehmen}
// Berechnung:
for ( int j = 0; j < n; j ++) { // Für alle Spaltenindizes...
int p = j; // Variable für Zeilenindex
while ( p < n && a [ p][ j] == 0) p ++; // Index erhöhen, bis Spaltenelement ungleich 0
if ( p == n) { // Falls Suche erfolglos...
System. println ( "Matrix nicht invertierbar! "); // Fehlermeldung
if ( p!
Ein weiteres Beispiel
II = II – I
III = III – 2*II
I = I + 5*II
Somit ist die Lösung a=8; b=-4; c=5. Wie man sieht muss die erste Zahl nicht unbedingt auf Eins gebracht werden um weiter zu rechnen. Genauso wenig muss man im dritten Schritt immer subtrahieren. Gauß-Jordan-Algorithmus. Man nutzt es so, wie es gerade am besten erscheint, Hauptsache man schafft stufenweise viele Nullen in der Matrix. Wie man sieht ist die praktische Anwendung nicht besonders schwierig und vor allem zeitsparender als andere Verfahren, was besonders in einer Klausur von Bedeutung ist.
B. Vimeo oder YouTube).
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