Für den Fall d = 0 entsteht die konstante Folge ( a n) = a 1; a 1; a 1;.... Bei einer arithmetischen Zahlenfolge ist jedes Glied (mit Ausnahme des Anfangsgliedes) das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarglieder (woraus sich auch der Name arithmetische Folge erklärt). Beweis: a n − 1 + a n + 1 2 = a 1 + ( n − 2) d + a 1 + n ⋅ d 2 = 2 a 1 + ( 2 n − 2) d 2 = a 1 + ( n − 1) d = a n
Arithmetische Folge Übungen Lösungen Kostenlos
Beispiel 3 Die Halbwertszeit des radioaktiven Iod-Isotops I-131 beträgt 8, 0 Tage. (Die Halbwertszeit gibt die Zeitspanne an, in der jeweils die Hälfte der vorhandenen Masse zerfällt. ) a) Wie viel ist von 10 Gramm I-131 nach 80 Tagen noch übrig? b) Nach welcher Zeit sind von 10 Gramm I-131 noch 5 mg vorhanden? Lösung der Teilaufgabe a): Der Anfangswert und die jeweils nach Abschnitten von 8, 0 Tagen noch vorhandene Masse ergeben nachstehende Zahlenfolge: 10 g; 5 g; 2, 5 g; 1, 25 g;... Arithmetische folge übungen lösungen kostenlos. Es liegt eine geometrische Folge mit a 1 = 10 und q = 0, 5 (Angabe der Folgeglieder hier und im Folgenden ohne Maßeinheit) vor. Die nach 80 ( = 10 ⋅ 8, 0) Tagen noch vorhandene Masse ist dann das Glied a 11 der genannten geometrischen Folge, und es gilt: a 11 = a 1 ⋅ q 10 = 10 ⋅ ( 0, 5) 10 = 0, 009 765 625 Nach 80 Tagen sind also noch etwa 9, 8 mg des Iod-Isotops vorhanden. Lösung der Teilaufgabe b): Von der obigen geometrischen Folge sind a 1 = 10 und a n = 0, 005 gegeben, n ist gesucht. Es gilt: q n − 1 = a n a 1 Logarithmieren (zur beliebigen Basis, hier zur Basis 10) ergibt dann lg q n − 1 = lg a n a 1 ( n − 1) ⋅ lg q = l g a n a 1 ⇒ n − 1 = l g a n a 1 lg q, also n − 1 = lg 0, 0005 lg 0, 5 ≈ 10, 97 ( bzw. n ≈ 11, 97).
Wie dick wird das Ganze nach 15-maligem Falten, wenn man die Zwischenräume vernachlässigt? Lösung: Da sich die Dicke jeweils verdoppelt, liegt eine geometrische Folge mit a 1 = 0, 2 und q = 2 vor. Gesucht ist a 16. Es gilt: a 16 = a 1 ⋅ q 15 = 0, 2 ⋅ 2 15 = 6 553, 6 ( m m) Es würde sich (falls man die Faltungen bewältigt) eine Dicke von mehr als 6, 5 m ergeben. Arithmetische folge übungen lösungen kursbuch. Beispiel 6 Einem gleichseitigen Dreieck wird ein wiederum gleichseitiges Dreieck einbeschrieben und zwar so, dass die Ecken des neuen auf den Seitenmitten des ursprünglichen Dreiecks liegen. Das Verfahren wird mehrfach wiederholt (siehe Abbildung). Es ist der Flächeninhalt des fünften Dreiecks und die Summe der Flächeninhalte der ersten fünf Dreiecke zu berechnen, wenn das Ausgangsdreieck eine Seitenlänge von a = 10 c m hat.