ich habe L 1 L 2 Probelemlos gerechnent, es ist aber mir nicht klar wie ich aus den beiden matrizen auf L komme. Ich habe noch diesen Forme gefunden, was ich aber kompliziert finde: L 2 (P 2 L 1 P 2 -1)P 2 P 1. A = R L -1 = L 2 (P 2 L 1 P 2 -1) L bildet sich dann aus L -1 kann ich diese Formel bei jeder LR Zerlegung einer 3x3 Matrix? oder gibt es eine einfache methode um L zu berechnen? pivot tausch ausführen für A 1. dividiere 1. spalte von A durch das diagonal element (das ist die ersten spalte von L) und drehe das vorzeichen der elemente unter der diagonalen, 2. QR-Zerlegungs-Rechner. setze die spalte in eine einheitsmatrix ein, das ergibt L1. multipliziere mit A1= L1 A (das macht nullen unter der diagonale der 1 spalte - siehe oben) pivot tausch für A1 goto 1 und verfahre so mit der 2 spalte: nim die ab diagonale element, dividiere durch diagonal element (2. spalte von L) vorzeichen unter diagonale drehen und in einheitsmatrix einsetzen ergibt L2. R = L2 A1 schau in den link und kopiere deine matrix nach zeile 6 (in der App werden die L-Spalten in die durch 0en freiwerdenden spalten in der Matrix A reingesteckt.
- QR-Zerlegungs-Rechner
Qr-Zerlegungs-Rechner
Lexikon der Mathematik: LR-Zerlegung
Zerlegung einer Matrix A ∈ ℝ n×n in das Produkt A = LR, wobei L eine untere Dreiecksmatrix und R eine obere Dreiecksmatrix ist. Ist A regulär, so existiert stets eine Permutationsmatrix P ∈ ℝ n×n so, daß PA eine LR-Zerlegung besitzt. Hat L dabei eine Einheitsdiagonale, d. Lr zerlegung pivotisierung rechner. h. \begin{eqnarray}L=\left(\begin{array}{cccc}1 & & & \\ {\ell}_{21} & 1 & & \\ \vdots & \ddots & \ddots & \\ {\ell}_{n1} & \ldots & {\ell}_{n, n-1} & 1\end{array}\right), \end{eqnarray} so ist die Zerlegung eindeutig. Das Ergebnis des Gauß-Verfahrens zur direkten Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax = b kann als LR-Zerlegung von PA interpretiert werden, wobei P eine Permutationsmatrix ist. Die Berechnung der LR-Zerlegung einer Matrix A ist insbesondere dann vorteilhaft, wenn ein lineares Gleichungssystem Ax ( j) = b ( j) mit derselben Koeffizientenmatrix A ∈ ℝ n×n und mehreren rechten Seiten b ( j) zu lösen ist. Nachdem die LR-Zerlegung von A berechnet wurde, kann jedes der Gleichungssysteme durch einfaches Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen gelöst werden.
In diesem Fall sind Zeilenvertauschungen erforderlich, welche auf eine modifizierte Zerlegung mit einer Permutationsmatrix führen. Die entsprechende Modifikation des Verfahrens ist, welche wieder auf eine zu ähnliche Matrix führt. Allerdings ist dann die Konvergenz nicht mehr gesichert, es gibt Beispiele, wo die modifizierte Iteration zur Ausgangsmatrix zurückkehrt. Daher bevorzugt man den QR-Algorithmus, der dieses Problem nicht hat. Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Heinz Rutishauser (1958): Solution of eigenvalue problems with the LR transformation. Nat. Bur. Stand. App. Math. Ser. 49, 47–81. J. G. Francis (1961): The QR Transformation: A Unitary Analogue to the LR Transformation—Part 1. The Computer Journal Vol. 4(3), S. 265–271. doi: 10. 1093/comjnl/4. 3. 265
Josef Stoer, Roland Bulirsch: Numerische Mathematik 2. 5. Auflage, Springer-Verlag Berlin 2005, ISBN 978-3-540-23777-8.