Die Reihe der Form s n = ∑ k = 0 n a q k s_n=\sum\limits_{k=0}^n aq^k (1)
heißt geometrische Reihe. Dabei ist a ∈ R a\in\dom R eine beliebige reelle Zahl. Geometrische Folge - Rechner. Im Beispiel 5409A hatten wir ermittelt, dass
s n = a 1 − q n + 1 1 − q s_n=a\, \dfrac {1-q^{n+1}}{1-q} (2)
gilt. Damit können wir jetzt die Konvergenz der Reihe (1) beurteilen, indem wir den Grenzwert der Zahlenfolge (2) betrachten. Offensichtlich konvergiert die Folge (2) für ∣ q ∣ < 1 |q|<1 und der Grenzwert ergibt sich mit a 1 − q \dfrac a{1-q}, also
Beispiel 5409C (Grenzwert der geometrischen Reihe)
Für ∣ q ∣ < 1 |q|<1 gilt:
∑ k = 0 ∞ a q k = a 1 − q \sum\limits_{k=0}^\infty aq^k=\dfrac a{1-q}
bzw:
∑ k = 1 ∞ a q k = a q 1 − q \sum\limits_{k=1}^\infty aq^k=\dfrac {aq}{1-q},
wenn die Summation mit k = 1 k=1 beginnt. Startet man die Summation allgemein mit k = m k=m so ergibt sich
∑ k = m ∞ a q k = a q m 1 − q \sum\limits_{k=m}^\infty aq^k=\dfrac {aq^m}{1-q},
Für ∣ q ∣ ≥ 1 |q|\geq 1 divergiert die Reihe. Speziell gilt:
Für q = − 1 q=-1 ist s n = { 1 falls n = 2 k 0 falls n = 2 k + 1 s_n=\begin{cases}1 &\text{falls} &n=2k\\0 &\text{falls} & n=2k+1\end{cases} und für q = 1 q=1 ist s n = n + 1 s_n=n+1.
- Geometrische reihe rechner grand rapids mi
- Geometrische reihe rechner 23
Geometrische Reihe Rechner Grand Rapids Mi
Taylorreihenentwicklungs-Rechner berechnet eine Taylor-Reihenentwicklung einer Funktion an einem Punkt bis zu einer bestimmten Potenz. Syntaxregeln anzeigen
Beispiele für Taylor-Reihenentwicklung
Mathe-Tools für Ihre Homepage
Wählen Sie eine Sprache aus:
Deutsch
English
Español
Français
Italiano
Nederlands
Polski
Português
Русский
中文
日本語
한국어
Das Zahlenreich - Leistungsfähige Mathematik-Werkzeuge für jedermann | Kontaktiere den Webmaster
Durch die Nutzung dieser Website stimmen sie den Nutzungsbedingungen und den Datenschutzvereinbarungen zu. Do Not Sell My Personal Information
© 2022
Alle Rechte vorbehalten
Geometrische Reihe Rechner 23
359 Aufrufe
Aufgabe: \( \sum\limits_{k=5}^{10}{(\frac{5}{-1+2i})^{k}} \)= Problem/Ansatz: Dort findet man die Lösung, aber nicht den Weg. ich komme bis: Formel: \( \sum\limits_{k=0}^{n}{q^{k}} \)=\( \frac{(q^{n+1})-1}{q-1} \) \( \sum\limits_{k=5}^{10}{(\frac{5}{-1+2i})^{k}} \)=\( \sum\limits_{k=0}^{10}{(\frac{5}{-1+2i})^{k}} \) - \( \sum\limits_{k=0}^{4}{(\frac{5}{-1+2i})^{k}} \)=\( \frac{\frac{5}{-1+2i}^{11}-1}{\frac{5}{-1+2i}-1} \) - \( \frac{\frac{5}{-1+2i}^{5}-1}{\frac{5}{-1+2i}-1} \) und hier weiß ich nicht wie ich vereinfachen kann/vorgehe stimmt die formel \( \sum\limits_{k=0}^{n}{q^{k}} \)=\( \frac{(q^{n+1})-1}{q-1} \) für die aufgabe? oder gibt es eine einfachere Formel? Geometrische reihe rechner. Ich habe bereits nach so einer frage gesucht aber entweder nichts ähnliches gefunden oder ich hab die rechenschritte nicht nachvollziehen können. wäre schön wenn es jemand gibt der den Rechenweg step für step aufschreiben könnte. Vielen Dank schonmal im Voraus
Gefragt
22 Jul 2020
von
4 Antworten
Neben dem Tipp von Spacko ist vielleicht auch eine vorherige Umformung der Formel sinnvoll: $$\frac{q^{11}-1}{q-1}-\frac{q^{5}-1}{q-1} =\frac{q^{11}-q^5}{q-1} =q^5*\frac{q^{6}-1}{q-1}$$$$=q^5*(q^5+q^4+q^3+q^2+1)$$ Mit q=-1-2i gibt es q^2 = -3+4i q^3=11+2i q^4 = (q^2)^2 = -7-24i und das mal q gibt q^5 = -41+38i In der Klammer also -40+18i und das q^5 gibt 956-2258*i
Beantwortet
23 Jul 2020
mathef
252 k 🚀
Scherzhafte Beispiele haben manchmal größere Bedeutung als ernste. Michael Stifel
Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf
ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden. Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld
• Dοrfplatz 25 • 17237 Blankеnsее
• Tel. : 01734332309 (Vodafone/D2) •
Email: cο@maτhepedιa. dе