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Naheliegendster Treffer: Thörl, 8622, Steiermark, Österreich
Bundesland: Steiermark
Umkreis-Erweiterung: 15 km
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Standort
St. Radegund Lift
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Seehöhe
762 m
Blickrichtung
Scherbauer Wiese - Talstation..
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180-Tage Rückblick
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Ja ok meins ist nicht gerade prickelnd erklärt. 11. 2008, 20:03
Jetzt musst du nur noch die schon 'abgelittenen' Teile des Terms in die genannte Regel einsetzen und du erhälst die Ableitung von f(x). 11. 2008, 20:21
ahh ok ok. habs verstanden. vielen vielen dank!! !
Ableitung Von Ln X 20
Satz [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sind und differenzierbare Abbildungen, so ist auch die Verkettung differenzierbar. Ihre Ableitung im Punkt ist die Hintereinanderausführung der Ableitung von im Punkt und der Ableitung von im Punkt:
bzw.
Für die Jacobi-Matrizen gilt entsprechend:,
wobei der Punkt die Matrizenmultiplikation bezeichnet. Hier werden die Koordinaten im Definitionsbereich von mit bezeichnet, die Koordinaten im Bildraum von und damit dem Definitionsbereich von mit. Ausgeschrieben mit den Komponenten der Abbildungen und den partiellen Ableitungen:
Höhere Differenzierbarkeit [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sind, für ein, die Abbildungen und von der Klasse, das heißt -mal stetig differenzierbar, so ist auch von der Klasse. Dies ergibt sich durch wiederholtes Anwenden der Kettenregel und der Produktregel auf die partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen. Spezialfall n = m = 1 [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Häufig möchte man die Ableitung einer gewöhnlichen reellen Funktion bestimmen, die aber über einen mehrdimensionalen "Umweg" definiert ist:
mit und.
Ableitung Von 2 Ln X
Erklärung Man will die Ableitung von f − 1 f^{-1} an der Stelle x x (rot gestrichelt) herausfinden, und betrachte dazu den Funktionsgraphen von f − 1 f^{-1}: Nun spiegle man ihn an der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten, sodass man den Graphen von f f vor sich hat: Man sieht, dass die Steigung der blauen Geraden im unteren Bild der Kehrwert der Steigung von der im oberen Bild ist, da sich die beiden Katheten im Steigungsdreieck vertauscht haben. Im unteren Bild entspricht diese Steigung aber dem Funktionswert von f\;' an der grün gestrichelten Stelle y y. Es ist also ( f − 1) ′ ( x) = 1 f ′ ( y) (f^{-1})'(x)=\dfrac1{f'(y)}. Ein Blick ins obere Bild zeigt aber: y y ist der Funktionswert von f − 1 f^{-1} an der Stelle x x! Damit ist ( f − 1) ′ ( x) = 1 f ′ ( f − 1 ( x)) (f^{-1})'(x)=\dfrac1{f'(f^{-1}(x))} Herleitung der Formel Diese Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion kann man auch mithilfe der Kettenregel herleiten. Dafür nutzt man aus, dass x = f ( f − 1 ( x)) x=f(f^{-1}(x)) ist.
Die Kettenregel besagt dann:
Sind, und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und ist die Verkettung der differenzierbaren Abbildungen und, so ist auch differenzierbar und für die Ableitung im Punkt gilt:
Kettenregel für Fréchet-Ableitungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Kettenregel gilt ganz entsprechend für Fréchet-Ableitungen. Gegeben seien Banach-Räume, und, offene Teilmengen und und Abbildungen
und. Ist an der Stelle und an der Stelle differenzierbar, so ist auch die Verkettung an der Stelle differenzierbar und es gilt
Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im R n. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 9. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1231-5. Konrad Königsberger: Analysis 2. 5. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20389-3. Geiger, Kanzow: Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben. Springer, Berlin / Heidelberg 2002, ISBN 978-3-540-42790-2. Einzelnachweise und Anmerkungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
↑ a b Physiker schreiben hier die Vektoren, bzw., mit Vektorpfeilen (, ) oder mit Fettdruck ( bzw. ).