Funktion ohne Krümmung
Betrachten wir zunächst die Funkiton
\(f(x)=x\)
Es handelt sich hierbei um eine Lineare-Funktion. Wir können die zweite Ableitung der Funktion berechnen:
\(\begin{aligned}
f(x)&=x\\
\\
f'(x)&=1\\
f''(x)&=0
\end{aligned}\)
Die zweite Ableitung einer Funktion gibt uns an ob eine Funktion gekrümmt ist. In dem Fall ist die zweite Ableitung gleich Null. Daraus können wir schließen, dass die Lineare-Funktion keine Krümmung besitzt. Krümmung einer Parabel
In diesem Abschnitt möchten wir das Krümmungsverhalten einer Parabel untersuchen. Monotonie, Krümmung bei Funktionen, Übersicht mit Ableitungsgraphen | Mathe by Daniel Jung - YouTube. Wir werden feststellen, das Parabeln sowohl eine Linkskrümmung als auch eine Rechtskrümmung besitzten können. Linkskrümmung
\(f(x)=x^2\)
Um Aussagen über das Krümmungsverhalten zu Treffen, müssen wir die zweite Ableitung berechnen:
f(x)&=x^2\\
f'(x)&=2x\\
f''(x)&=2
In diesen Fall ist die zweite Ableitung ungleich Null, damit besitzt diese Funktion eine Krümmung. Zudem ist die zweite Ableitung größer als Null, wir haben es also mit einer Linkskrümmung zu tun.
Kurvendiskussion - Beispielaufgabe Mit Lösung - Studienkreis.De
Wir erkennen: In der Rechtskurve ist der Graph von f' streng monoton fallend. In der Linkskurve ist der Graph von f' streng monoton steigend. Am Extremwert (Minimum) von f' liegt der Wendepunkt*. *Ob die Bedingungen immer ausreichen, überprüfen wir später. Wir wissen, dass die Ableitung einer Funktion die Steigung beschreibt. Ist die Ableitung größer als Null, dann steigt der Graph. Ist die Ableitung kleiner als Null, dann fällt der Graph. Das können wir auch auf den Graphen der Ableitung, also auf f' übertragen. Die Ableitung von f' ist f''. f'' nennen wir die Ableitung von f' bzw. die 2. Ableitung von f.
Der grüne Graph zeigt die 2. Ableitung (f'') von f. Wenn f'' kleiner als Null ist, dann ist f' streng monoton fallend. f ist rechtsgekrümmt. Wenn f'' größer als Null ist, dann ist f' streng monoton steigend. Kurvendiskussion - Beispielaufgabe mit Lösung - Studienkreis.de. f ist linksgekrümmt. Wenn f'' gleich Null ist, dann kann an dieser Stelle ein Wendepunkt existieren. (ob das immer zutrifft, untersuchen wir später. ) Das Vorzeichen von f'' gibt Auskunft über die Krümmung.
Monotonie, Krümmung Bei Funktionen, Übersicht Mit Ableitungsgraphen | Mathe By Daniel Jung - Youtube
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Funktionen analysieren
Unter "Funktionsanalyse" bzw. "Kurvendiskussion" in der Differenzialrechnung wollen wir die Untersuchung der Graphen von Funktionen auf deren geometrische Eigenschaften, wie zum Beispiel Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte, gegebenenfalls Sattel- und Flachpunkte, Asymptoten, Verhalten im Unendlichen (Globalverhalten) u. a. m. verstehen. Diese Informationen erlauben es uns, eine Skizze des Graphen anzufertigen, aus der all diese für die Funktion charakteristischen Eigenschaften unmittelbar ablesbar sind. Heute ist es nicht mehr das Ziel einer Kurvendiskussion, den Menschen dabei zu unterstützen, eine möglichst genaue Zeichnung des Graphen der Funktion zu produzieren: das kann inzwischen jeder Funktionsplotter (etwa ein grafikfähiger Taschenrechner, ein Smartphone mit entsprechender Software, ein Tabellenkalkulationsprogramm oder Computeralgebra-Software) besser. Ziel der Kurvendiskussion ist vielmehr,
die Koordinaten der charakteristischen Punkte eines Graphen exakt zu bestimmen (aus einem Funktionsplot lassen sich lediglich ungefähre Werte ablesen);
charakteristische Eigenschaften wie Symmetrie oder Verhalten im Unendlichen zu beweisen.