18. 12. 2014, 21:53
kettam
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DGL: Wann verwendet man "Trennung der Variablen"? Meine Frage:
Guten Tag,
bald ist Klausurenphase und ich Stelle mir folgende Frage:
Unser Höma2 Skript zeigt uns zur Einführung in das Thema DGLn das Lösungsverfahren "Trennung der Variablen". Nachdem man allerdings auch andere Verfahren kennengelernt hat, um DGLn zu lösen, spricht keiner mehr von der TDV. Trennung der variablen dgl 2. Nun ist mir aber nicht ganz klar, wie ich in der Klausur erkennen soll, dass ich dieses Verfahren anwenden muss. Meine Ideen:
Mir ist bei den Übungsaufgaben aufgefallen, dass die Aufgaben zur TDV nur mit DGLn erster Ordnung arbeiten Bsp:, y(0)=4
allerdings erkenne ich zu dieser Aufgabe:
keinen diese, mit der homogenen und speziellen Lösung berechnet wird. Danke. 18. 2014, 22:20
HAL 9000
Zitat:
Original von kettam
Nun ist mir aber nicht ganz klar, wie ich in der Klausur erkennen soll, dass ich dieses Verfahren anwenden muss kann. Dann, wenn die Trennung funktioniert - sonst natürlich nicht.
Trennung Der Variablen Dgl 2
und zwar hab ich die DGL: c'(t) = a/b *(c 1 - c(t))
Da die DGL inhomogen und linear 1. Ordnung ist (glaub ich jedenfalls), muss ich dann automatisch immer Variation der Konstanten machen? Darf man Trennung der Variablen nur bei homogenen DGLen anwenden? Wenn ich jetzt von der obigen Gleichung ausgehe und das ausschließlich mit Trennung der Variablen löse, komm ich doch trotzdem auf eine Lösung. In dem Fall ja auch nicht schwierig zu integrieren. Mit Variation der Konstanten (also zuerst T. d. DGL : Wann verwendet man "Trennung der Variablen"?. V. der homogenen DGL und dann Variation) komm ich auf die Lösung:
c(t) = c 1 + u*exp(-a/b *t) mit der Konstanten u
Direkt mit Trennung der Variablen der inhomogenen DGL komm ich auf:
c(t) = c 1 - r*exp(-a/b *t) mit der Konstanten r
Das sind auch gleiche Lösungen (wahrscheinlich gilt u = -r)?
Trennung Der Variablen Dgl E
2. Nun bleibt zu zeigen, dass für den Fall das einzige Element von – die Funktion – eine Lösung des Anfangswertproblems ist, also gilt: Nach der Kettenregel, der Umkehrregel und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt
für alle. Natürlich ist. Bemerkung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
und seien Teilmengen der reellen Zahlen, und stetige Funktionen, sei ein innerer Punkt von, ein innerer Punkt von und. Dann gilt:
Ist, dann gibt es wegen der Stetigkeit von ein umfassendes offenes Intervall mit für alle. Weil auf stetig ist, ist nach dem Zwischenwertsatz ein Intervall und es gilt. Deswegen gibt es ein umfassendes offenes Intervall, sodass die Abbildung
für alle Werte in hat. Das heißt, die Restriktionen und erfüllen die Bedingungen des oben formulierten Satzes. Beispiel [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Gesucht sei die Lösung des Anfangswertproblems. Partielle DGL - einfach erklärt für dein Studium · [mit Video]. Hierbei handelt es sich um eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen:. Setze also. Die Umkehrfunktion lautet.
Trennung Der Variablen Dgl Rechner
Diese Lösung muss unter den angegebenen Bedingungen nicht eindeutig sein. Formulierung des Satzes [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Voraussetzungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
sei ein offenes Intervall, und eine stetige Funktion mit für alle. Dann gilt nach dem Zwischenwertsatz entweder für alle, oder für alle. Also ist die Funktion
streng monoton (das folgt aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und dem Mittelwertsatz). Das heißt, ist injektiv und es gibt die Umkehrfunktion. Ferner sei ein offenes Intervall, und eine stetige Funktion. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen. Dann ist die Funktion
wohldefiniert und differenzierbar. Wir wollen die Lösungsmenge des Anfangswertproblems bestimmen:
Der Satz [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Unter den oben genannten Voraussetzungen gilt:
Das heißt, im Fall hat das Anfangswertproblem genau eine Lösung – nämlich die Funktion – und andernfalls ist leer. Beweis [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sei. Wir beweisen zuerst und dann:
1. Sei, dann gilt nach der Substitutions-Regel
für alle, also.
Trennung Der Variablen Dgl Meaning
Der einzige Unterschied: Wir sind mathematisch korrekt
vorgegangen. Aus diesem Grund benutzen viele Professoren und
Buchautoren lieber dieses Verfahren.
Zunchst wollen wir zeigen, warum die riante des Lsungsverfahrens
Variablentrennung zwar funktioniert, aber mathematisch nicht korrekt ist. Dazu betrachten wir nochmals das uns bereits bekannte Einfhrungsbeispiel:
Wir separieren die Variablen, indem wir die Gleichung mit dx und e y
multiplizieren:
Jetzt integrieren wird beide Seiten, d. h. wir machen auf beiden Seiten ein
Integralzeichen:
Damit haben wir einen Fehler begangen. Es reicht nmlich nicht, auf beiden
Seiten
einfach ein Integralzeichen zu machen. Zum Integrieren gehrt auch immer die
Angabe, nach welcher Variable integriert werden soll, d. ob nach dx oder dy. Beispielsweise knnte man beide Seiten nach dx integrieren, und man erhlt:
Dies wre zwar mathematisch korrekt, aber wrde zu einem sinnlosen
Ausdruck fhren. Daher benutzen manche Autoren folgende Variante:
Wir betrachten dazu nochmals das gleiche Beispiel:
Jetzt multiplizieren wir die Gleichung aber nur mit e y, d. Trennung der variablen dgl e. wir
bringen den Term
mit der abhngigen Variablen (hier y) auf die Seite des Differentialquotienten:
Jetzt integrieren wird beide Seiten mathematisch korrekt, d. wir machen auf
beiden
Seiten ein Integralzeichen und geben an, nach welcher Variable integriert
wird (hier dx):
Auf der linken Seiten krzen sich die Differential dx weg:
Wir sehen, dass wir das gleiche (Zwischen)ergebnis erhalten, wie bei
der riante.