Aber häufig musst du auch Anwendungsaufgaben oder rein innermathematische Fragestellungen mit dem Sinussatz lösen. Wofür benutzt man den Sinussatz? Der Sinussatz wird zum Berechnen fehlender Größen in allgemeinen Dreiecken verwendet. Entsprechend den Voraussetzungen müssen drei Größen gegeben sein, davon eine Seitenlänge und der gegenüberliegende Winkel. Schritte zum Berechnen der Größen des Dreiecks
Es werden zunächst nur die Teile des Sinussatzes benutzt, in denen gegebene Größen vorkommen. In den zwei gewählten Brüchen sind alle außer einer Größe gegeben. Durch einfaches Umstellen kann die fehlende Größe berechnet werden. Nach diesem Schritt (spätestens) sind zwei Winkel bekannt. Mit der Winkelsumme in einem Dreieck kann der fehlende Winkel berechnet werden. Damit wird nur noch eine Größe gesucht, eine Seitenlänge. Übungen zu sinussatz. Sie kann nun wieder mit dem Sinussatz ausgerechnet werden, indem zwei Verhältnisse aus Sinus eines Winkels und Seitenlänge gleichgesetzt werden. Gegebenenfalls musst du nun jeweils noch den Winkel aus dem Sinus berechnen.
Trigonometrie - Sinussatz Und Kosinussatz - Mathematikaufgaben Und Übungen | Mathegym
In der ebenen und sphärischen Trigonometrie stellt der Sinussatz eine Beziehung zwischen den Winkeln eines allgemeinen Dreiecks und den gegenüberliegenden Seiten her. Sinussatz für ebene Dreiecke [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sind, und die Seiten eines Dreiecks mit dem Flächeninhalt, den Winkeln, und die der zugehörigen Seite gegenüber liegen und dem Radius des Umkreises, dann gilt mit der Sinusfunktion:
Wenn mit Hilfe des Sinussatzes Winkel im Dreieck errechnet werden sollen, muss darauf geachtet werden, dass es im Intervall [0°;180°] im Allgemeinen zwei verschiedene Winkel mit demselben Sinuswert gibt. Trigonometrie - Sinussatz und Kosinussatz - Mathematikaufgaben und Übungen | Mathegym. Diese Zweideutigkeit entspricht der des Kongruenzsatzes SSW. Zum Zusammenhang mit den Kongruenzsätzen und zur Systematik der Dreiecksberechnung siehe den Artikel zum Kosinussatz. In der sphärischen Trigonometrie gibt es einen entsprechenden Satz, der ebenfalls als Sinussatz bezeichnet wird. Beweis [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die eingezeichnete Höhe zerlegt das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke, in denen man den Sinus von und jeweils als Quotient von Gegenkathete und Hypotenuse ausdrücken kann:
Auflösen nach ergibt:
Durch Gleichsetzen erhält man demnach
Dividiert man nun durch, so erhält man den ersten Teil der Behauptung:
Die Gleichheit mit ergibt sich entsprechend durch Benutzung der Höhe oder.
Stellst du diese letzte Gleichung noch etwas um, so bekommst du. Das ist gerade ein Teil des Sinussatzes. Auf ähnliche Weise kannst du die Höhen (die zur Seite senkrechte Linie durch den Punkt) und (die zur Seite senkrechte Linie durch den Punkt) einzeichnen. Auch diese beiden konstruierten Linien werden jeweils das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke unterteilen. Analog zur vorhin gezeigten Berechnung erhalten wir die Gleichungen
für die Höhe und
für die Höhe
Insgesamt erhältst du also folgendes Resultat
was gerade die Sinussatz Formel ist. Hinweis: Wir haben hier den Sinussatz unter der Annahme hergeleitet, dass keiner der drei Winkel ein stumpfer Winkel ist. Der Sinussatz gilt aber auch, wenn ein Winkel größer als 90° ist. Die Herleitung dafür ist zwar ein wenig komplizierter, verläuft aber sehr ähnlich.