Während "Trennung der Variablen für einen ganz anderen Typ passend ist:. Natürlich gibt es Schnittmengen von beiden (s. o. ), aber keins von beiden ist Teilmenge des anderen. Anzeige
20. 2014, 07:33
Huch! Wo HAL Recht hat, hat er Recht. Schöne Grüße aus dem Land, wo alles linear ist.
Trennung Der Variablen Dgl 7
und zwar hab ich die DGL: c'(t) = a/b *(c 1 - c(t))
Da die DGL inhomogen und linear 1. Ordnung ist (glaub ich jedenfalls), muss ich dann automatisch immer Variation der Konstanten machen? Darf man Trennung der Variablen nur bei homogenen DGLen anwenden? Wenn ich jetzt von der obigen Gleichung ausgehe und das ausschließlich mit Trennung der Variablen löse, komm ich doch trotzdem auf eine Lösung. In dem Fall ja auch nicht schwierig zu integrieren. Mit Variation der Konstanten (also zuerst T. d. V. der homogenen DGL und dann Variation) komm ich auf die Lösung:
c(t) = c 1 + u*exp(-a/b *t) mit der Konstanten u
Direkt mit Trennung der Variablen der inhomogenen DGL komm ich auf:
c(t) = c 1 - r*exp(-a/b *t) mit der Konstanten r
Das sind auch gleiche Lösungen (wahrscheinlich gilt u = -r)?
Trennung Der Variablen Dgl Video
Gewöhnliche DGL Lösungsansätze Übersicht
Separierbare DGL 1. Ordnung
Form:
Lösung mithilfe Trennung der Variablen:
Durch Substitution lösbare DGL Form: mit Lösung durch Substitution und Trennung der Variablen:
Substituiere:, somit ist Dann ist Durch Trennung der Variablen erhältst du die Lösung von. Die Rücksubstitution liefert dir dann
Lineare DGLs
Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen DGL setzt sich aus 1. der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen DGL 2. der partikulären Lösung der inhomogenen DGL zusammen:
Homogene lineare DGL 1. Ordnung Form: Die allgemeine Lösung lautet:, wobei und. Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung Form: Lösung durch Variation der Konstanten:, wobei und
Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Form:, wobei Allgemeine Lösung der homogenen DGL:
Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL:
Wenn von der Form: Ansatz:
Wenn von der Form: und Ansatz:
Die allgemeine Lösung ist dann:
Trennung Der Variablen Dgl Meaning
4. überarbeitete Auflage. Springer, 1990, ISBN 3-540-52017-1, S. 13–20
Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis I. 9. Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, ISBN 3-89104-498-4, S. 316–333
Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Einführung in Lehre und Gebrauch. 6. aktualisierte Auflage. Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0705-2, S. 102-122
Weblinks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Jochen Merker: Differentialgleichungen (PDF; 602 kB) Skript, Sommersemester 2011, Uni Rostock, insbesondere S. 12–14
Eric W. Weisstein: Separation of Variables. In: MathWorld (englisch). Separation of Variables. Paul's Online Math Notes, Lamar University
Ron Larson: Separation of Variables. (PDF; 200 kB) (freies Buchkapitel aus Calculus: Applied approach)
Einzelnachweise [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
↑ How do you solve this differential equation using the separation of variables dy/dx= (y-2)/x? Abgerufen am 27. Januar 2022 (englisch). ↑ a b Trennung der Variablen: Erklärung und Beispiel. Abgerufen am 18. September 2021.
Trennung Der Variablen Dgl Die
Partielle DGL Beispiel: eindimensionale Transportgleichung
Zu guter Letzt noch ein Beispiel: die eindimensionale Transportgleichung
Partielle Differentialgleichung Beispiel
Diese Gleichung beschreibt den Transport eines Stoffes mit Konzentration c(x, t) in einer inkompressiblen Flüssigkeit mit Strömungsgeschwindigkeit v(x, t). x gibt den Ort und t die Zeit an. Du hast partielle Differentialgleichungen kennengelernt und das Beispiel der Transportgleichung gesehen.
Auflösen nach y $\frac{y-1}{y} = \frac{y}{y} - \frac{1}{y} = c \cdot e^{-x^2} $ $= 1 - \frac{1}{y} = c \cdot e^{-x^2} \rightarrow -\frac{1}{y} = -1 + c \cdot e^{-x^2} $ [$ \cdot (-) $ und Kehrwert bilden] $y = \frac{1}{1 -c\cdot e^{-x^2}} $ mit $ c\not= 0$ Diese Lösungsschar liefert für $c= 0$ die partikuläre Lösung $y = 1$. 5. Gesamtlösung Die Gesamtlösung besteht also aus der Schar $ y = \frac{1}{1 -c\cdot e^{-x^2}}, c \in \mathbb{R}$ und der partikulären Lösung $ y = 0$.
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