Kapitel 7 - Boolesche Algebra
Die Boolesche Algebra findet ihren praktischsten Nutzen bei der Vereinfachung logischer Schaltungen. Wenn wir die Funktion einer Logikschaltung in eine symbolische (boolesche) Form übersetzen und bestimmte algebraische Regeln auf die resultierende Gleichung anwenden, um die Anzahl von Termen und / oder arithmetischen Operationen zu reduzieren, kann die vereinfachte Gleichung für eine durchzuführende Logikschaltung in eine Schaltungsform zurückübersetzt werden die gleiche Funktion mit weniger Komponenten. 08. Schaltgleichungen rechnerisch vereinfachen mittels Schaltalgebra - lernen mit Serlo!. Wenn eine äquivalente Funktion mit weniger Komponenten erreicht werden kann, wird das Ergebnis eine erhöhte Zuverlässigkeit und verringerte Herstellungskosten sein. Zu diesem Zweck gibt es einige Regeln der Booleschen Algebra, die in diesem Abschnitt vorgestellt werden, um Ausdrücke auf ihre einfachsten Formen zu reduzieren. Die bereits in diesem Kapitel besprochenen Identitäten und Eigenschaften sind sehr nützlich für die Boolesche Vereinfachung und tragen größtenteils die Ähnlichkeit mit vielen Identitäten und Eigenschaften der "normalen" Algebra.
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Mit den Verknüpfungen
e ∨ f = e + f − e f, e ∧ f = e f e\lor f = e + f - ef, \quad e \land f = ef
wird A A zu einer booleschen Algebra. Ist H H ein Hilbertraum und P(H) die Menge der Orthogonalprojektionen auf H H. Definiert man für zwei Orthogonalprojektionen P P und Q P ∨ Q = P + Q − n P Q, P ∧ Q = P Q Q P\lor Q = P + Q - nPQ, \quad P \land Q = PQ, wobei n n gleich 1 oder 2 sein soll. Schaltalgebra / Rechenregeln der Digitaltechnik. In beiden Fällen wird P(H) zu einer booleschen Algebra. Der Fall n=2 ist in der Spektraltheorie von Bedeutung. Homomorphismen
Ein Homomorphismus zwischen booleschen Algebren A, B A, B ist ein Verbandshomomorphismus f : A → B f\colon A\to B, der 0 auf 0 und 1 auf 1 abbildet, d. h. für alle x, y ∈ A x, y\in A gilt:
f ( x ∧ y) = f ( x) ∧ f ( y) f(x\land y)=f(x)\land f(y)
f ( x ∨ y) = f ( x) ∨ f ( y) f(x\lor y)=f(x)\lor f(y)
f ( 0) = 0, f ( 1) = 1 f(0)=0, \quad f(1)=1
Es folgt daraus, dass f ( ¬ a) = ¬ f ( a) f(\neg a)=\neg f(a) für alle a a aus A A. Die Klasse aller booleschen Algebren wird mit diesem Homomorphismenbegriff eine Kategorie.
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Einschränkungen
Potenzen sind nur mit ganzzahligen Exponenten möglich. Dies gilt auch dann, wenn das Ergebnis wie im Beispiel 25 1/2
rational ist. Ist der Exponent einer Potenz größer als 100 oder kleiner als −100, so wird kein Ergebnis berechnet, da sonst der
Rechner für längere Zeit blockiert sein könnte. Die Faktorisierung kann unvollständig sein. Das liegt daran, dass der verwendete Algorithmus (Von-Schubert- oder
Kronecker-Algorithmus) nicht sehr effizient ist. Boolesche algebra vereinfachen rechner 10. Beim Grad 4 wird die Suche nach irreduziblen Faktoren abgebrochen, um eine Blockierung des
Rechners zu vermeiden. Sollte der Browser trotzdem eine Warnmeldung zeigen, ist es ratsam, die Webseite anzuhalten. HTML5-Canvas nicht unterstützt!
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Mit der Anwendung der Regeln 16 und 24 würde man beispielsweise auch auf dieses Ergebnis kommen! Probier' es einfach mal aus! Bei der Arbeit mit den Regeln der Schaltalgebra heißt es also: Regeln verinnerlichen und ganz genau hinschauen;) Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4. 0. → Was bedeutet das?
Diese Algebra benützte bereits Žegalkin 1927 als Variante der originalen Algebra von Boole, der den Körper der reellen Zahlen zugrunde legte, welcher noch keinen booleschen Ring ergibt. Die Kategorien boolescher Ringe und boolescher Algebren sind isomorph.
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