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Allgemeine Hilfe zu diesem Level
Potenzen mit der Hochzahl 2 heißen Quadratzahlen. Beispiel
5 2 = 5 · 5 = 25
Die Quadratzahlen von 0 bis 20 sollte man auswendig wissen. Tipp: Wähle deinen Lehrplan, und wir zeigen dir genau die Aufgaben an, die für deine Schule vorgesehen sind. Handelt es sich bei dem Exponenten (=Hochzahl) um eine gerade Zahl, ist der Potenzwert stets positiv (Minus mal Minus ergibt Plus). Bei ungeradem Exponenten ist der Potenzwert negativ, falls der Basiswert (=Grundwert) negativ ist. Vorsicht: Wenn vor der Potenz noch ein Minuszeichen steht, wird der Potenzwert nach dem Ausrechnen noch mit -1 multipliziert. Sei T(x) ein beliebiger Term und r eine rationale Zahl. Potenzgleichungen - Mathematikaufgaben und Übungen | Mathegym. Die Gleichung
T(x) r = a
lässt sich (evtl. ) lösen, indem man beide Seiten zunächst mit "1/r" potenziert. Dadurch erhält man:
T(x) = a 1/r
Keine Lösung erhält man z. B., wenn a negativ und r
eine gerade Zahl ist: x² = -1 (x² nie negativ)
eine echt rationale Zahl ist: x 1/3 = -1 (Ergebnis eines Wurzelterms nie negativ)
Löse die folgenden beiden Gleichungen:
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Gleichungen Mit Potenzen Aufgaben
Bestimme den Definitionsbereich der Bruchgleichung und überführe sie in eine kubische Gleichung. Du kannst zwei Brüche nur addieren, wenn sie gleichnamig sind. Andernfalls musst du sie zuerst auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen. Es gilt: $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
Bei Bruchgleichungen muss im ersten Schritt der Definitionsbereich bestimmt werden. Dieser wird nämlich durch den Term im Nenner eingeschränkt, denn dieser darf niemals null werden. Den Definitionsbereich der hier betrachteten Bruchgleichung erhalten wir, indem wir die $x$-Werte bestimmen, für die die beiden Nenner null werden: $x+1=0$ für $x=-1$
$x+2=0$ für $x=-2$ Damit lautet der Definitionsbereich: $D=\mathbb{R}\backslash\lbrace -2;-1\rbrace$ Nun wird die Bruchgleichung durch Umstellen in eine kubische Gleichung überführt. Um die Bruchgleichung zu vereinfachen, werden die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Hauptnenner gebracht. Gleichungen mit potenzen full. Hierzu wird der erste Bruch mit $\dfrac {x+1}{x+1}$ und der zweite Bruch mit $\dfrac {x+2}{x+2}$ erweitert.
Nutze die $pq$-Formel: $x_{1, 2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$
Die erste Lösung der kubischen Gleichung $5x^3 + 15x^2 - 40x + 20=0$ ist gegeben durch $x_1=1$. Das Ergebnis ist eine quadratische Gleichung, die wir mithilfe der $pq$-Formel lösen: $\begin{array}{lll}
x_{1, 2} &=& -\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} \\
x_{1, 2} &=& -\frac 42\pm\sqrt{\left(\frac 42\right)^2-(-4)} \\
x_{1, 2} &=& -2\pm\sqrt{8} \\
x_{1, 2} &=& -2\pm\sqrt{4\cdot 2} \\
x_{1, 2} &=& -2\pm2\sqrt{2} \\
\end{array}$ Die kubische Gleichung $5x^3 + 15x^2 - 40x + 20=0$ hat damit die drei Lösungen $x_1=1$, $x_2 = -2+2\sqrt{2}$ und $x_3 = -2-2\sqrt{2} $. Gib die Lösungen der quadratischen Gleichung an. Bringe die Gleichung in die Normalform: $~x^2+px+q=0$. Ermittle die Lösungen mithilfe der $pq$-Formel: $x_{1, 2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$
Wir überführen die Gleichung zunächst in die Normalform $x^2+px+q=0$. Gleichungen mit potenzen images. Wir erhalten folgende Rechnung: $\begin{array}{llll}
2x^2-2x &=& 4 & \vert -4 \\
2x^2-2x-4 &=& 0 & \vert:2 \\
x^2-x-2 &=& 0 &
\end{array}$ Jetzt setzen wir $p=-1$ und $q=-2$ in die $pq$-Formel ein: $\begin{array}{lll}
x_{1, 2} &=& -\frac {-1}2\pm\sqrt{\left(\frac {-1}2\right)^2-(-2)} \\
x_{1, 2} &=& \frac 12\pm\sqrt{\frac 14+2} \\
x_{1, 2} &=& \frac 12\pm\sqrt{\frac 94} \\
x_{1, 2} &=& \frac 12\pm\frac 32 \\
x_1 &=& \frac 12+\frac 32 = 2 \\
x_2 &=& \frac 12-\frac 32 = -1
\end{array}$ Die quadratische Gleichung besitzt also die Lösungen $x_1=2$ und $x_2=-1$.
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