\[E:\vec{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\vec{u} + s\cdot\overrightarrow{AC} \text{ mit} r, s\in\mathbb{R} \]
Ebene aus zwei parallelen Geraden
Gegeben sind zwei parallele Geraden $g$ und $h$. Ebene aus zwei geraden deutschland. \newline Erweitere die Parameterdarstellung einer Geraden um einen weiteren Richtungsvektor, beispielsweise die Verbindung des Stützvektors zum Stützvektor der anderen Geraden. \[E:\vec{x}=\overrightarrow{OC}+r\cdot\vec{v} + s\cdot\overrightarrow{CA} \text{ mit} r, s\in\mathbb{R} \]
Ebene aus zwei sich schneidenden Geraden
Gegeben sind zwei sich schneidende Geraden $g$ und $h$. \newline Erweitere die Parameterdarstellung einer Geraden um den Richtungsvektor der anderen Geraden. \[E:\vec{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\vec{u} + s\cdot\vec{v} \text{ mit} r, s\in\mathbb{R} \]
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Die Punkte auf einer Ebene in Parameterform werden durch die Gleichung E: X → = P → + λ ⋅ u → + μ ⋅ v → beschrieben. X → steht stellvertretend für alle Punkte auf der Ebene. P → ist der Ortsvektor des Aufpunkts. u → und v ⃗ sind die Richtungsvektoren. λ und μ sind beliebige Faktoren (eine Zahl). Beispiel: Die Gleichung einer Ebene E mit Richtungsvektoren u → = ( − 1 0 1) und v → = ( 2 1 2) und Aufpunkt P ( 1 ∣ 2 ∣ 3) lautet z. Ebene angeben, die parallel zu zwei Graden ist? (Schule, Mathematik, Informatik). B. E: X → = ( 1 2 3) ⏟ P → + λ ⋅ ( − 1 0 1) ⏟ u → + μ ⋅ ( 2 1 2) ⏟ v → Die Ebenengleichung ist nicht eindeutig definiert, d. h. es gibt noch andere Gleichungen, die dieselbe Ebene beschreiben. Das liegt daran, dass jeder Punkt aus der Ebene als Aufpunkt der Ebenengleichung gewählt werden kann und verschiedenste Vektoren, die in der Ebene liegen zur Bildung des Normalenvektors verwendet werden können. Im obigen Beispiel ist z. für λ = 1 und μ = 1 der Vektor 1 ⋅ ( − 1 0 1) ⏟ u → + 1 ⋅ ( 2 1 2) ⏟ v → = ( 1 0 3) ein weiterer Richtungsvektor der Ebene E. Wann bilden Punkte und Geraden eine Ebene?
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Zeile} \\ 2\lambda &= 3 - 2\mu \tag{2. Zeile} \\ 1 + \lambda &= 1 + 2\mu \tag{3. Zeile} \end{align*} $$ Parameter $\lambda$ und $\mu$ durch das Additionsverfahren berechnen Zum Berechnen der beiden Parameter braucht man nur zwei Zeilen (2 Gleichungen mit 2 Unbekannten). Die verbleibende dritte Zeile dient im 3. Schritt dazu, die Existenz eines Schnittpunktes ggf. zu bestätigen. Wir addieren die 2. Parameterform Ebenengleichung - Oberstufenmathe - was ist wichtig?. mit der 3. Zeile, damit $\mu$ wegfällt… $$ \begin{align*} 1 + 3\lambda = 4 & & \Rightarrow & & \lambda = 1 \end{align*} $$ …auf diese Weise können wir $\lambda$ berechnen. Danach setzen wir $\lambda = 1$ in die 2. Zeile ein, um $\mu$ zu berechnen. $$ \begin{align*} 2 = 3 - 2\mu & & \Rightarrow & & \mu = 0{, }5 \end{align*} $$ Berechnete Parameter in die verbleibende Gleichung einsetzen Die beiden Parameter haben wir mithilfe der 2. und der 3. Zeile berechnet. Zur Überprüfung der Existenz eines Schnittpunktes bleibt demnach die 1. Zeile übrig. In diese setzen wir die berechneten Parameter ein.
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Windschiefe Geraden spannen eine Ebene auf
Hallo zusammen, in der Schule haben wir gerade das Thema Geraden und Ebenen. Nun haben wir mit Ebenen angefangen und gelernt, dass zwei Vektoren immer dann eine Ebene aufspannen, wenn sie linear unabhängig voneinander sind. An Hand eines dreidimensionalen Bilds kann ich mir das Ganze auch gut vorstellen, so lange sich die "Gerade der Vektoren" in einem Punkt schneiden. Sind die Vektoren aber nun zueinander windschief, so spannen sie trotzdem eine Ebene auf. Das Ganze zu berechnen ist nicht das Problem, ich kann es mir nur nicht optisch vorstellen und bin bei meiner Suche auf kein passendes Bild gestoßen. Ich wäre also sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte. 18. 02. Ebene aus zwei geraden und. 2011, 10:27
kurellajunior
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Hier liegt ein Problem im Verständnis des Begriffs Vektor vor:
Zitat:
Ein Vektor ist die Klasse aller Pfeile einer bestimmten Länge und einer bstimmten Richtung. Du kannst also den "Startpunkt" eines Vektors frei wählen, es bleibt immer derselbe Vektor.
Ebene Aus Zwei Geraden Deutschland
3k Aufrufe
Ich weiß wie man bei der Aufgabe vorgeht. Allerdings bin ich jetzt auf eine Beispielaufgabe mit Lösung gestoßen, wo ich denke, dass die Lösung falsch ist. Der zweite Spannvektor (AB) müsste doch heißen (-3/-1/1) und nicht (-9/3/-6) oder? Ich muss doch mit den Stützvektoren rechnen und nicht mit den Richtungsvektoren... Bin ich mit meiner Annahme richtig oder wo liegt mein Denkfehler?, Celina
Gefragt
24 Mai 2019
von
2 Antworten
Gut, Dankeschön! Dann habe ich wohl wirklich einen Fehler entdeckt. Die Frage ist jetzt nur, ob ich es dem Verlag mitteilen soll. Windschiefe Geraden spannen eine Ebene auf. :D Aber die wissen das mitlerweile bestimmt schon... Wenn du sicher bist, dass die Geraden sich schneiden, das kannst du als Stützvektor den von einer der beiden Geraden nehmen, aber als Richtungsvektoren musst du die Richtungsvektoren beider Geraden nehmen. Allerdings kannst du auch ruhig ein Vielfaches davon nehmen, also statt (3/-1/2) auch das (-3) - fache also (-9/3/-6). Bei Parallelen ist es allerdings etwas anders. Da nimmst du einen der Stützpunkte und den Richtungsvektor (Die haben beide den gleichen bzw. Vielfache davon und dann als 2. z.
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Man muss nur überprüfen, ob der Punkt auf der Geraden liegt. Liegt er nicht auf der Geraden, dann kann man eine eindeutige Ebene bilden, indem man den Richtungsvektor der Geraden nimmt, einen Vektor zwischen Punkt und Gerade zieht und den Punkt als Stützvektor der neuen Ebene verwendet. Liegt der Punkt auf der Geraden, dann lässt sich keine eindeutige Ebene bestimmen. In diesem Fall gibt es unendlich viele verschiedene Ebenen, die sowohl Punkt als auch Gerade einschließen. Prüfen: Liegt der Punkt auf der Geraden? 3. Ebene aus zwei geraden watch. Wenn ja: Es lässt sich keine eindeutige Ebene bestimmen. Man verwendet den Richtungsvektor der Geraden und wählt einen zweiten beliebig (aber nicht linear abhängig vom ersten). Als Stützvektor kann der Punkt herhalten. Wenn nein: Liegt der Punkt nicht auf der Geraden, dann lässt sich eine eindeutige Ebene bestimmen. Man wählt den Richtungsvektor der Geraden als einen Richtungsvektor, einen Vektor zwischen Punkt und Gerade als zweiten Richtungsvektor, den Stützvektor der Geraden als Stützvektor der Ebene.
Eine Ebene (nicht ihre Gleichung) ist jedoch eindeutig definiert, wenn Folgendes gegeben ist: drei Punkte, die nicht auf einer Gerade liegen ein Punkt und eine Gerade, die nicht durch den Punkt verläuft zwei parallele Geraden zwei sich schneidenden Geraden Zwei windschiefe Geraden bilden z. keine Ebene.