Dazu multipliziert man den Vektor mit und bekommt als Ergebnis:. Aus unserem Beispiel:
Die Transformationsmatrix von B nach A kann nach einer einfachen Regel ausgerechnet werden.
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Beispiel:
x x + 2 y y + 3 z z = 2, hier: a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 3 a_1 = 1, \, a_2 = 2, \, a_3 = 3 und e 1 = 2 e_1 = 2
x x + y y + z z = 2
3 x x + 3 y y + z z = 0
Es werden schematisch nur die Koeffizienten ( a, b, c, e) (a, \, b, \, c, \, e) geschrieben:
Jetzt wird so umgeformt, dass b 1 b_1 und c 1 c_1 Null werden, indem man geeignete Vielfache der ersten Gleichung zur zweiten und dritten Gleichung addiert. Den Multiplikator, mit dem man die Zeile multiplizieren muss, erhält man, indem man die erste Zahl der Zeile, aus der das Element elimiert werden soll, durch die Zahl teilt, die sich in der Zeile darüber an der gleichen Position befindet (hier: 1/1=1, 3/1=3). Da das Element verschwinden soll, muss die Zahl noch mit (-1) multipliziert werden, so dass sie negativ wird. Gaußverfahren - lernen mit Serlo!. Zu Zeile 2 wird das (-1)-fache und zu Zeile 3 das (-3)-fache von Zeile 1 addiert. Damit c 2 c_2 Null wird, wird ein Vielfaches von Zeile 2 zu Zeile 3 addiert, in diesem Fall das (-3)-fache:
Falls die Zahl, durch die zur Berechnung des Multiplikators dividiert wird (hier für die ersten beiden Zeilen die Zahl 1, beim dritten Mal die Zahl (-1)), Null ist, wird diese Zeile mit einer weiter unten liegenden vertauscht.
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Algorithmensammlung: Numerik
Dividierte Differenzen
Hermiteinterpolation
Horner-Schema
Quadratur
Gauß-Jordan-Algorithmus
Inverse Matrix
Determinante
Gauß-Jordan-Algorithmus [ Bearbeiten]
Der Gauß-Jordan-Algorithmus ist ein Verfahren zum Lösen eines linearen Gleichungssystems mithilfe von Zeilenumformungen (Zeilentausch, Subtraktion einer anderen Zeile). Näheres siehe Gauß-Jordan-Algorithmus. Pseudocode [ Bearbeiten]
Der hier skizzierte Algorithmus setzt eine invertierbare Koeffizientenmatrix m voraus, also ein eindeutig lösbares Gleichungssystem.
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Mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus ist ein Schema zur Lösung linearer Gleichungssysteme gegeben,
das sehr übersichtlich in der Anwendung ist. Das Lösungsprinzip setzt den
Gedanken der Umformung des LGS in eine Dreiecksform konsequent fort. Das
Ziel besteht jetzt in der Umformung in eine Diagonaldeterminate, in der nur
die Diagonalelemente mit 1, alle übrigen mit 0 besetzt sind:
\(\begin{array}{l}I. & 1 \cdot x\, \, \, \, +
\, \, \, \, 0\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + \, \, \, \, \, \, \, 0 = c_1^*\\II. &
0\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + \, \, \, \, 1 \cdot y\, \, \, \, + \, \, \, \, \, \, \, 0 = c_2^*
& \\III. & 0\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + \, \, \, \, 0\, \, \, \, \, \, \, \, \, +
\, \, \, 1 \cdot z = c_3^* & \end{array}\)
Gl. 107
Der Nutzen liegt auf der Hand: in jeder Gleichung kommt nur noch eine
Unbekannte vor, die zudem noch mit dem Faktor 1 multipliziert vorliegt. Gauß-Jordan-Algorithmus - Matheretter. Es gilt also:
\(\begin{array}{l}
I. & x\, = c_1^*
\\
II. & y = c_2^* &
III. & z = c_3^* &
\end{array}\)
Gl.