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Fragen mit Antworten: Ebene Parameterform in Normalenform
In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zur Parameterform in Normalenform an. F: Ich verstehe das Thema nicht. Wie kann ich dies ändern? Normalenform zu Parameterform - Studimup.de. A: Wenn ihr dieses Thema Ebenen und Ebenenumwandlung nicht versteht, solltet ihr erst einmal einen Blick auf diese Themen der Vektorrechnung werfen:
Punkte in ein Koordinatensystem eintragen
Vektoren Grundlagen
Gerade in Parameterform
F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt? A: Die Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln wird in der Oberstufe behandelt, meistens ab der 11. Klasse. F: Welche Themen sollte ich mir als nächstes ansehen? A: Wir arbeiten aktuell an diesen Themen und werden sie nach der Veröffentlichung hier verlinken:
Unterschied Ortsvektor und Richtungsvektor
Betrag / Länge eines Vektors
Rechnen mit Vektoren
Vektoren addieren
Vektoren subtrahieren
Mittelpunkt einer Strecke
Vektorprodukt / Kreuzprodukt
Spatprodukt
Abstand Punkt zu Gerade
Abstand paralleler Geraden
- Normalenform zu Parameterform - Studimup.de
- Parametergleichung, Normalengleichung und Koordinatengleichung | Mathelounge
- Ebene: Parametergleichung in Normalenform
Habt ihr die Parameterform einer Ebene gegeben und möchtet die Normalenform haben, geht ihr so vor:
Normalenvektor berechnen, durch das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren
Aufpunkt auswählen, dazu könnt ihr einfach den von der Parameterform nehmen, dies ist einfach irgendein Punkt, der auf der Ebene liegt
dann nur noch den Normalenvektor und Aufpunkt in die Normalenform einsetzen
Gegebensei die Ebene in Parameterform:
1. Berechnet den Normalenvektor durch das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren:
2. Parametergleichung, Normalengleichung und Koordinatengleichung | Mathelounge. Nehmt einfach denselben Aufpunkt wie bei der Parameterform so müsst ihr hier nichts machen. 3. Setzt alles in die Formel der Normalenform ein:
Parametergleichung, Normalengleichung Und Koordinatengleichung | Mathelounge
Von der Parametergleichung zur Normalengleichung: In diesem Beitrag wird an einem Beispiel gezeigt, wie sich eine Ebene in Parametergleichung / Punktrichtungsform in eine Normalengleichung / Normalenform umwandeln lässt. Die Aufgabe besteht also darin, eine Parametergleichung
einer Ebene in eine Normalengleichung
umzuwandeln. Ebene: Parametergleichung in Normalenform. Den Stützvektor → a aus der gegeben Parametergleichung können wir direkt in die Normalengleichung übernehmen. Der Normalenvektor → n 0 muss senkrecht zur Ebene, also senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren → u und → v aus der Parametergleichung stehen. Betrachten wir als Beispiel die folgende Parametergleichung
In einem ersten Schritt übertragen wir den Stützvektor, der ja für einen Punkt aus der Ebene steht, in die Normalengleichung und gelangen damit zunächst zur folgenden Darstellung
Das der Normalenvektor → n 0 senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren verläuft, bedeutet natürlich, dass das Skalarprodukt von → n 0 mit den beiden Richtungsvektoren jeweils Null ergibt.
Normalenform
([x, y, z] - [0, 2, -1]) * [-12, -11, -5] = 0
Umwandlung über 3 Punkt in Parameterform
P * [-12, -11, -5] = 0 --> P ist z. B. [0, 5, -11], [5, 0, -12], [11, -12, 0]
X - [0, 2, -1] = P --> X = [0, 7, -12], [5, 2, -13], [11, -10, -1]
E: X = [0, 7, -12] + r * [5, -5, -1] + s * [11, -17, 11]
Koordinatenform über ausmultiplizieren
([x, y, z] - [0, 2, -1]) * [-12, -11, -5] = 0 --> ([x, y, z] - [0, 2, -1]) * [12, 11, 5] = 0
[x, y, z] * [12, 11, 5] = [0, 2, -1] * [12, 11, 5]
12x + 11y + 5z = 17
Diese Ebenen sind identisch, sehen jedoch in Geoknecht durch die Perspektive nicht parallel aus, weil die Stücke verschiedene Ausschnitte aus der selben Ebene sind.
Folglich gilt: $$ {\color{red}4}x_1 + {\color{red}3}x_2 - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{n} = \begin{pmatrix} {\color{red}4} \\ {\color{red}3} \end{pmatrix} $$ Beliebigen Aufpunkt $\vec{a}$ berechnen Als Aufpunkt können wir jeden beliebigen Punkt auf der Gerade verwenden. Punkte, die auf der Gerade liegen, haben die Eigenschaft,
dass sie die Koordinatengleichung $4x_1 + 3x_2 - 5 = 0$ erfüllen. Wenn wir z. B. für $x_2$ gleich $1$ einsetzen $$ 4x_1 + 3 \cdot 1 - 5 = 0 $$ $$ 4x_1 + 3 - 5 = 0 $$ $$ 4x_1 - 2 = 0 $$ und die Gleichung anschließend nach $x_1$ auflösen, erhalten wir $$ 4x_1 - 2 = 0 \quad |+2 $$ $$ 4x_1 = 2 \quad |:4 $$ $$ x_1 = 0{, }5 $$ Der Punkt $(0{, }5|1)$ liegt folglich auf der Gerade. Diesen können wir als Aufpunkt hernehmen: $$ \vec{a} = \begin{pmatrix} 0{, }5 \\ 1 \end{pmatrix} $$ $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die Normalenform einsetzen $$ g\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0{, }5 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0 $$