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Zahlreich - Mathematik Hausaufgabenhilfe: Chinesischer Restsatz
Chinesischer Restsatz: Beweis
Zunächst einmal soll die Existenz einer Lösung der simultanen Kongruenz gezeigt werden. Hierzu wird mit das Produkt der paarweise teilerfremden Moduln definiert. Weiter wird definiert. Aufgrund der Teilerfremdheit der Moduln gilt:
Das heißt, es können beispielsweise mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus ganze Zahlen und gefunden werden, sodass gilt:
Es gilt demzufolge für:
Eine Lösung der simultanen Kongruenz ist dann durch
gegeben. Chinesischer Restsatz. Nun soll gezeigt werden, dass diese Lösung eindeutig modulo ist. Dazu wird zunächst angenommen, dass y eine weitere Lösung sei. Dann gilt:
Allerdings gilt auch weiterhin
Daher muss also kongruent zu modulo sein. Es gilt also:
Das wiederum bedeutet nichts anderes, als dass jedes die Differenz zwischen und teilt:
Da die Moduln paarweise teilerfremd sind, teilt auch deren Produkt die Differenz zwischen und:
Das heißt die weitere Lösung der simultanen Kongruenz ist kongruent zur Lösung modulo:
Chinesischer Restsatz: Nicht teilerfremde Moduln
Für den Fall, dass die Moduln nicht teilerfremd sind, gibt es unter der Voraussetzung, dass für alle gilt:
auch eine Lösung der simultanen Kongruenz.
Chinesischer Restsatz
Chinesischer Restsatz (auch chinesischer Restklassensatz genannt) ist der Name mehrerer ähnlicher Theoreme der abstrakten Algebra und Zahlentheorie. Simultane Kongruenzen ganzer Zahlen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine simultane Kongruenz ganzer Zahlen ist ein System von linearen Kongruenzen
für die alle bestimmt werden sollen, die sämtliche Kongruenzen gleichzeitig lösen. Wenn eine Lösung existiert, dann sind mit die Zahlen genau alle Lösungen, wobei für das kleinste gemeinsame Vielfache steht. Es kann aber auch sein, dass es gar keine Lösung gibt. Teilerfremde Moduln [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Herleitung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Originalform des chinesischen Restsatzes stammt aus dem Buch Sūn Zǐ Suànjīng ( chinesisch 孫子算經 / 孙子算经 – "Sun Zis Handbuch der Arithmetik") des Mathematikers Sun Zi (vermutlich 3. Jh. ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe: Chinesischer Restsatz. [1] [2]) und wurde 1247 von Qin Jiushaos Shùshū Jiǔzhāng ( 數書九章 / 数书九章 – "Mathematische Abhandlung in neun Kapiteln") wiederveröffentlicht. Der Satz trifft eine Aussage über simultane Kongruenzen für den Fall, dass die Moduln teilerfremd sind.
Berechnen Sie Mit Chinesischem Restsatz 2^413 Mod 225 | Mathelounge
Autor
Beitrag
me
Verffentlicht am Freitag, den 17. November, 2000 - 17:13:
Hi, kann mir jemand das mit dem chinesischen Restsatz nochmal erklären? Bei unserem Prof habe ich den leider gar nicht verstanden. Schritt für Schritt und ausführlich für Doofe wär nett. Zaph (Zaph)
Verffentlicht am Samstag, den 18. Berechnen Sie mit Chinesischem Restsatz 2^413 mod 225 | Mathelounge. November, 2000 - 17:21:
Am besten ein Beispiel. Gesucht ist eine Zahl x, die durch 5 geteilt den Rest 3, durch 12 geteilt den Rest 4 und durch 77 geteilt den Rest 20 lässt: x = 3 mod 5 x = 4 mod 12 x = 20 mod 77 Aus dem chinesische Restsatz folgt, dass es solch eine Zahl gibt, weil 5, 12 und 77 paarweise teilerfremd sind. Die kleinste positive Zahl mit den Eigenschaften ist kleiner als 5 * 12 * 77. Verffentlicht am Mittwoch, den 22. November, 2000 - 14:41:
Und wie kann man die Schritt für Schritt berechnen? Verffentlicht am Mittwoch, den 22. November, 2000 - 21:21:
Du fängst an, ein x zu bestimmen mit x = 3 mod 5 x = 4 mod 12 Es soll also gelten x = 5a + 3 x = 12b + 4 für gewisse a, b.
Sie lautet:
Seien paarweise teilerfremde natürliche Zahlen, dann existiert für jedes Tupel ganzer Zahlen eine ganze Zahl, die die folgende simultane Kongruenz erfüllt:
für
Alle Lösungen dieser Kongruenz sind kongruent modulo. Das Produkt stimmt hier wegen der Teilerfremdheit mit dem überein. Finden einer Lösung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine Lösung kann wie folgt ermittelt werden: Für jedes sind die Zahlen und teilerfremd, also kann man z. B. Chinesischer restsatz online rechner. mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus zwei ganze Zahlen und finden, so dass. Setze, dann gilt. Die Zahl
ist dann eine Lösung der simultanen Kongruenz. Beispiel [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Gesucht sei eine ganze Zahl mit der Eigenschaft
Hier ist. Mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus berechnet man, also, also, also
Eine Lösung ist dann. Wegen sind alle anderen Lösungen also kongruent zu 47 modulo 60. Allgemeiner Fall [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Auch im Fall, dass die Moduln nicht teilerfremd sind, existiert manchmal eine Lösung.
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Es muss jedoch in dieser Zeit mit kleineren Wartezeiten und Behinderungen gerechnet werden. Am Tag des Belagseinbaus muss der entsprechende Strassenabschnitt für jeglichen Verkehr gesperrt werden. Der Belagseinbau ist witterungsabhängig und findet voraussichtlich am 16. /17. Mai oder am 23. /24. Mai 2022 statt. Der definitive Termin für den Belagseinbau und die damit verbundene Strassensperrung wird vor Ort per Infotafel signalisiert. Um eine langfristig qualitativ gute Verbindungsstrasse Mutten – Obermutten zu erhalten, sind die obigen Verkehrsbeschränkungen strikte einzuhalten. Wir bitten um Verständnis und Rücksichtnahme. Auskünfte erhalten Sie bei Cavigelli Ingenieure AG, Ilanz, 081 920 09 20. Strassensperrung Pantun-, Schützenweg 21. 2022
Infolge Strassensanierung muss die Strasse entlang des Pantunweges, Abschnitt Parkplatz Trailcenter bis inkl. Gemeinde thusis bauamt in hotel. Teilabschnitt Schützenweg, ab Montag, 25. April 2022 von 07. 00 Uhr bis und mit Freitag, 29. April 2022 bis 18. 00 Uhr für jeglichen Verkehr gesperrt werden.
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Daniel Keller (Foto: Bauunternehmung Pitsch, Thusis) wird Bauamtsleiter
Wie das kleinere Cazis erhält auch Thusis ein eigenes Bauamt. In Cazis gab es unter Gemeindevorstandsmitglied Patrick Widmer, Department Bauwesen, schon vor der Fusion mit den Gemeinden Portein, Präz, Tartar und Sarn massive Probleme. Dossiers blieben (und bleiben) jahrelang einfach liegen und werden nicht behandelt und erledigt. Ob Thusis auch derartige Probleme hatte, entzieht sich der Redaktion von, aber es ist anzunehmen, daß diese Stelle auch geschaffen wurde, damit Dossiers nicht zulange liegenbleiben. Ab 2013 wird für die neugeschaffene Stelle wurde als Bauamtsleiter Daniel Keller gewählt. Gemeinde thusis bauamt in google. Er ist Jahrgang 1977 und in Thusis aufgewachsen und auch wohnhaft. Keller verfügt über einen vielseitigen beruflichen Werdegang im Baubereich. Zurzeit arbeitet Daniel Keller bei ortsansäßigen Bauunternehmung Pitsch als Bauführer. by
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Dann kamen Corona und der Ukraine-Krieg. Für Oberschleißheim, die traditionell zu den einnahme-schwächsten Gemeinde im Landkreis zählt, änderte sich damit alles. Zu dieser Ansicht zumindest gelangten die Kritiker einer übereilten Bäder-Planung. Egal ob 14 oder 18 Millionen Euro; eine Rechnung in der Höhe vermag man in Oberschleißheim nicht mal eben aus der Portokasse zu begleichen. Selbst wenn Zuschüsse gewährt würden: "Keiner weiß, wie die Situation sich entwickelt", warnte Hirschfeld. Er verwies auf Covid und Krieg und das damit zusammenhängende finanzielle Dilemma der Gemeinde. "Wir haben eine Verantwortung gegenüber dem Bürger", mahnte er. Arbeitskraftnutzlos gebunden Auf der anderen Seite steht der Bürgerentscheid von 2001, als fast 80 Prozent der Leute für das Hallenbad stimmten. An das Votum sieht man sich im Rathaus als eine Art Versprechen gebunden. Thusis | Willkommen bei der offiziellen Website der Gemeinde Thusis GR. Bewusst hatte man sich unlängst gegen die überkandidelte Version eines Spaßbads gewandt. Das Hallenbad wird von Schulkindern, DLRG, Polizei, Senioren und Behinderteneinrichtungen genutzt.
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