Eine stetige Zufallsgröße $X$ mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$ heißt normalverteilt mit den den Parametern $\mu$ und $ \sigma$ (kurz $N (\mu; \sigma)$ -verteilt), wenn sie die folgende Dichte funktion besitzt: $\Large \bf f_N(t)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \cdot e^{ -\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}$ 2 Graphen von Dichten von Normalverteilungen Die Dichten von Normalverteilung en haben ein Maximum an der Stelle $\mu$, die Graphen sind symmetrisch zur Geraden $x=\mu$ und haben für $x \rightarrow \pm \infty$ die x-Achse als Asymptote. Mit zunehmender Standardabweichung $\sigma$ werden ihre Graphen flacher und breiter, umso kleiner $\sigma$ wird umso höher und schmaler werden die Graphen. Standard-Normalverteilung Ist $X \sim N (0; 1)$-verteilt, so nennt man $X$ standardnormalverteilt die Dichte der Standard-Normalverteilung wird mit einem $ \large \bf \varphi $ bezeichnet und sieht so aus: $\Large \bf \varphi (t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot e^{ -\frac{t^2}{2}} $ Dichte der Standard-Normalverteilung Gaußsche Glockenkurve Die Form des Graphen von $\varphi (t) $ hat ihr den Namen Gaußsche Glockenkurve eingebracht.
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Stochastik Normalverteilung Aufgaben Zum Abhaken
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Aufgaben mit Anordnung
Auswahlaufgaben ohne Anordnung
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Wahrscheinlichkeit
Einstufige Aufgaben
Mehrstufige Aufgaben
Erwartungswert
Verteilungen
Bernoulliformel und Binomialverteilung
Hypergeometrische Verteilung
(Normalverteilung)
Testen
Alternativtest
Signifikanztest
Stochastik Normalverteilung Aufgaben Der
ist symmetrisch zur Symmetrieachse y = μ y=\mu. ist nie 0. Für Φ ( x) \Phi(x): Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Für große n kann die Binomialverteilung durch die (Standard-)Normalverteilung angenähert (approximiert) werden. Ist X ∼ B ( n; p; k) \text X\sim\text B(n;p;k) so gilt: P ( X ≤ k) ≈ Φ ( k + 0, 5 − μ σ) \displaystyle\text P(\text X\leq k)\approx\Phi\left(\frac{k+0{, }5-\mu}{\sigma}\right) und Hinweis Wie bei jeder Binomialverteilung ist der Erwartungswert μ = n ⋅ p \mu=n\cdot p die Standardabweichung σ = σ 2 = Var(x) = n ⋅ p ⋅ ( 1 − p) \sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\text{Var(x)}}=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} Nur bei großen Zahlen ist der Fehler durch die Näherung klein. Achte darauf + 0, 5 +0{, }5 und − 0, 5 -0{, }5 richtig in die Formel einzusetzen. Stochastik normalverteilung aufgaben zum abhaken. Anwendung Zufallsgrößen bei denen die meisten Werte innerhalb eines gewissen Bereichs liegen und wenige Ausreißer nach oben und unten haben sind meistens annähernd normalverteilt. Wie zum Beispiel bei der Größe von Menschen dem Gewicht von Kaffeepackungen Messfehlern von Experimenten Übungsaufgaben Inhalt wird geladen… Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner: Aufgaben zur Normalverteilung Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.
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