Beweis (Dreiecksungleichung)
Aus und folgt ("Monotonie der Addition"). Analog folgt aus und, dass, also ist (wiederum "Monotonie der Addition"). Da entweder oder ist, ist auch. Die Dreiecksungleichung werden wir vor allem nutzen, um Abstände nach oben abzuschätzen. Lineare Funktionen - LEARNZEPT®. In die Differenz kann nämlich ein Term eingeschoben werden, also
Der Abstand kann also über die Abstände und nach oben abgeschätzt werden. Der obige Trick wird in der Analysis häufig verwendet. Abschätzung des Abstands nach unten [ Bearbeiten]
Satz (Abschätzung des Abstands nach unten)
Beweis (Abschätzung des Abstands nach unten)
Es ist
und damit nach Umformung der Ungleichung
Analog folgt aus
die Ungleichung
Insgesamt ist also sowohl als auch kleiner als. Damit ist
Betrag des Quotienten [ Bearbeiten]
Satz (Betrag des Quotienten)
Für Quotienten ist
Beweis (Betrag des Quotienten)
Es ist wegen der Multiplizität des Betrags:
Durch Multiplikation von auf beiden Seiten der Gleichung erhalten wir die zu beweisende Gleichung. Alternativer Beweis (Betrag des Quotienten)
Gegeben sei.
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Aus folgt, also und damit. Es ist dann
Fall 2:
Ist, dann ist auch, weil Null ihr eigenes Negative ist. Entsprechend ist
Fall 3:
Charakteristische Eigenschaft [ Bearbeiten]
Für das Maximum und Minimum haben wir folgende charakteristische Eigenschaft kennen gelernt:
Aus dieser können wir eine für Beweise nützliche Eigenschaft für Beträge ableiten. Ersetzt man nämlich durch, ergibt sich:
Daraus folgt:
Es ist also genau dann, wenn und ist. Analog ist genau dann, wenn und. Eigenschaften (Übersicht) [ Bearbeiten]
Es folgt eine Zusammenfassung aller wichtigen Eigenschaften des Betrags. Dabei habe ich auch die Form aufgeführt, die dir in den Beweisen der Analysis oft begegnen wird:
Eigenschaft des Betrags
Eigenschaft für den Abstand
Beweise der Betragseigenschaften [ Bearbeiten]
Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null [ Bearbeiten]
Satz (Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null)
Es ist genau dann der Betrag einer Zahl 0, wenn die Zahl selbst 0 ist. Betrag, Maximum und Minimum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher. Es gilt also
Beweis (Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null)
Für ist.
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Nachdem wir in den vergangenen Kapiteln die Anordnungsaxiome eingeführt haben, führen wir nun die ersten Begriffe ein, die direkt auf der Ordnung der reellen Zahlen aufbauen. Maximum und Minimum [ Bearbeiten]
Definition [ Bearbeiten]
Das Maximum zweier Zahlen gibt die größere der beiden Zahlen zurück, während das Minimum die kleinere Zahl zurückgibt. Beide Funktionen sind folgendermaßen definiert:
Es ist genauso möglich, das Maximum und Minimum von endlich vielen Zahlen anzugeben. Hierzu definieren wir
und
Beachte, dass es nur möglich ist, das Maximum und Minimum von endlichen Mengen auszurechnen. Für eine Verallgemeinerung des Maximums und Minimums auf unendliche Mengen werden wir später die Begriffe vom "Supremum" und vom "Infimum" einführen. Charakteristische Eigenschaften von Minimum und Maximum [ Bearbeiten]
Das Maximum und das Minimum erfüllen folgende Eigenschaften für beliebige reelle Zahlen, und, welche für diese Funktionen charakteristisch sind:
Satz (Maximum und Minimum sind genauso groß, wie die größte, bzw. kleinste Zahl die sie enthalten. Lineare funktionen übersicht pdf document. )
Teil: Gleichung der Mittelsenkrechten bestimmen
2. Teil: Mittelpunkte von Strecken bestimmen
3. Teil: Gleichung der Seitenhalbierenden bestimmen
4. Teil: Überprüfen, ob ein Punkt auf der Gerade liegt
5. Teil: Ergebnisse in Koordinatensystem zeichnen
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