Die Basiswechselmatrix
für den Basiswechsel von
nach
ist eine -Matrix. Es handelt sich um die Abbildungsmatrix
der Identitätsabbildung
auf
bezüglich der Basen
im Urbild und
im Bild:
Man erhält sie, indem man die Vektoren der alten Basis
als Linearkombinationen der Vektoren der neuen Basis
darstellt:
Die Koeffizienten
bilden die -te
Spalte der Basiswechselmatrix
Diese Matrix ist quadratisch und invertierbar
und somit ein Element der allgemeinen
linearen Gruppe. Ihre Inverse
beschreibt den Basiswechsel von
zurück nach. Spezialfälle
Ein wichtiger Spezialfall ist der Fall,
der Vektorraum stimmt also mit dem Koordinatenraum
überein. In diesem Fall sind die Basisvektoren Spaltenvektoren
die sich zu Matrizen
zusammenfassen lassen, die hier der Einfachheit halber mit den gleichen
Buchstaben wie die zugehörigen Basen bezeichnet werden. Basiswechsel (Vektorraum). Die Bedingung
übersetzt sich dann zu
das heißt,
Die Transformationsmatrix
lässt sich somit durch
berechnen, wobei
die inverse
Matrix der Matrix
ist. Insbesondere gilt: Ist
die Standardbasis, so gilt.
Abbildungsmatrix Bezüglich Basic English
Begründung: Es sei,
und. Die -te
Spalte von
enthält die Koordinaten des Bilds
des -ten
Basisvektors aus
bezüglich der Basis:
Berechnet man die rechte Seite mit Hilfe der Abbildungsmatrizen von
und,
so erhält man:
Durch Koeffizientenvergleich folgt
für alle
also,
das heißt:
Verwendung
Basiswechsel
Kommutatives Diagramm der beteiligten Abbildungen
Ist die Abbildungsmatrix einer Abbildung für bestimmte Basen bekannt, so
lässt sich die Abbildungsmatrix für dieselbe Abbildung, jedoch mit anderen
Basen, leicht berechnen. Abbildungsmatrix bezüglich bass fishing. Dieser Vorgang wird als Basiswechsel bezeichnet. Es kann etwa sein, dass die vorliegenden Basen schlecht geeignet sind, um ein
bestimmtes Problem mit der Matrix zu lösen. Nach einem Basiswechsel liegt die
Matrix dann in einer einfacheren Form vor, repräsentiert aber immer noch
dieselbe lineare Abbildung. Die Abbildungsmatrix
berechnet sich aus der Abbildungsmatrix
und den Basiswechselmatrizen
wie folgt:
Beschreibung von Endomorphismen
Bei einer linearen Selbstabbildung (einem Endomorphismus) eines
Vektorraums legt man gewöhnlich eine feste Basis des Vektorraumes als Definitionsmenge und
Zielmenge zugrunde.
Abbildungsmatrix Bezüglich Bass Fishing
Dann
beschreibt die Abbildungsmatrix die Veränderung, die die Koordinaten eines
beliebigen Vektors bezüglich dieser Basis bei der Abbildung erfahren. Die
Abbildungsmatrix ist bei Endomorphismen stets quadratisch, d. Abbildungsmatrix bestimmen. h. die Zahl der
Zeilen stimmt mit der Zahl der Spalten überein. Beschreibung von affinen Abbildungen und Affinitäten
Nach der Wahl einer affinen
Punktbasis in beiden affinen
Räumen, die durch eine affine Abbildung aufeinander abgebildet werden, kann
diese Abbildung durch eine Abbildungsmatrix und eine zusätzliche Verschiebung
oder - in homogenen
Koordinaten durch eine erweiterte (auch: "homogene") Abbildungsmatrix
allein beschrieben werden. Beispiele
Orthogonalprojektion
Im dreidimensionalen Raum (mit der kanonischen Basis) kann man die
eines Vektors auf eine Ursprungsgerade
durch folgende Abbildungsmatrix beschreiben:
Dabei sind
die Koordinaten des normierten Richtungsvektors der Geraden. Wird anstatt auf
eine Gerade auf eine Ebene mit den beiden zueinander senkrechten, normierten
Richtungsvektoren
projiziert, so kann man dies in zwei Projektionen entlang der beiden
Richtungsvektoren auffassen, und demnach die Projektionsmatrix für die
Orthogonalprojektion auf eine Ursprungsebene
folgendermaßen aufstellen:
Die Projektionsmatrix um auf eine Ebene zu projizieren, ist also die Summe
der Projektionsmatrizen auf ihre Richtungsvektoren.
Abbildungsmatrix Bezüglich Basis Bestimmen
Wird anstatt auf eine Gerade auf eine Ebene mit den beiden zueinander senkrechten, normierten Richtungsvektoren und projiziert, so kann man dies in zwei Projektionen entlang der beiden Richtungsvektoren auffassen, und demnach die Projektionsmatrix für die Orthogonalprojektion auf eine Ursprungsebene folgendermaßen aufstellen:
Die Projektionsmatrix um auf eine Ebene zu projizieren, ist also die Summe der Projektionsmatrizen auf ihre Richtungsvektoren. Spiegelung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wird anstatt einer Projektion eine Spiegelung durchgeführt, so kann dies ebenfalls mit Hilfe der obigen Projektionsmatrix dargestellt werden. Für die Spiegelungsmatrix an einer Ursprungsgeraden mit normiertem Richtungsvektor gilt:,
wobei die Einheitsmatrix darstellt. Gleiches gilt für die Spiegelung an der Ebene:. Abbildungsmatrix bezüglich basis bestimmen. Für die Spiegelung an einer Ebene (die durch den Ursprung geht) mit dem normierten Normalenvektor gilt:. Drehung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wenn man im dreidimensionalen Raum um eine Ursprungsgerade mit normiertem Richtungsvektor dreht, lässt sich die hierfür nötige Drehmatrix folgendermaßen darstellen:,
wobei wieder die Einheitsmatrix und den Drehwinkel bezeichnet.
Eine Abbildungsmatrix oder Darstellungsmatrix ist eine Matrix,
die in der linearen
Algebra verwendet wird, um eine lineare
Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen
zu beschreiben. Die aus diesen abgeleiteten affinen
Abbildungen, Affinitäten
und Projektivitäten
können ebenfalls durch Abbildungsmatrizen dargestellt werden. Begriff
Voraussetzungen
Um eine lineare Abbildung von Vektorräumen durch eine Matrix beschreiben zu
können, muss zunächst sowohl im Urbildraum
als auch im Zielraum eine Basis
(mit Reihenfolge der Basisvektoren) fest gewählt worden sein. Bei einem Wechsel
der Basen in einem der betroffenen Räume muss die Matrix transformiert werden,
sonst beschreibt sie eine andere lineare Abbildung. Wenn in der Definitionsmenge
und der Zielmenge eine Basis gewählt
worden ist, dann lässt sich eine lineare Abbildung eindeutig durch eine
Abbildungsmatrix beschreiben. Www.mathefragen.de - Abbildungsmatrix bezüglich einer Basis berechnen. Allerdings muss dafür festgelegt werden, ob man
die Koordinaten von Vektoren in Spalten- oder Zeilenschreibweise notiert.