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Bei der Linearisierung einer Funktion f wird diese um eine Stelle durch eine affin lineare Funktion g genähert. Das Verfahren zur Auffindung dieser Näherungsfunktion g wird auch als lineare Approximation bezeichnet. Da f lokal um eine Stelle linearisiert wird, spricht man manchmal auch von lokaler Linearisierung bzw. lokaler linearer Approximation. Analytische Verfahren - Regelungstechnik - Online-Kurse. Lineare Approximation und Ableitung
Um eine gute Näherung zu erhalten, muss der Funktionswert von g an der Stelle auf jeden Fall dem Funktionswert von f an dieser Stelle entsprechen. Es muss also gelten:
Geradengleichung im Video zur Stelle im Video springen (00:32)
Im Falle eindimensionaler reellwertiger Funktionen, die eine reelle Zahl wieder auf eine reelle Zahl abbilden, ist eine affin lineare Funktion g, die durch den Punkt läuft, von folgender Form:
Der Graph von g ist eine Gerade, die durch den Punkt läuft und die Steigung m besitzt. Wenn wir die Linearisierung eines Funktionsgraphens von f graphisch darstellen, sieht das folgendermaßen aus:
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Linearisierung einer Funktion
Dabei verläuft f (weiß) an der Stelle durch die Geraden g (blau) mit unterschiedlicher Steigung m.
Für die beste lineare Approximation gilt es nun diejenige Steigung m zu finden, für die der Graph von g um die Stelle möglichst gut zum Graphen von f passt.
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Die Angaben für den Arbeitspunkt sind: $ y_A = 4 $ $ x_A = 2 \cdot y^2_A = 32 $ 1. Erneut nutzen wir die Taylor-Reihenentwicklung und erhalten dann: $ x(t) = x_A \cdot \Delta x(t) \approx f(y_A) + \frac{d f(y)}{dy} |_A \cdot \Delta y(t) $ 2. Im zweiten Schritt führen wir die bekannte Subtraktion von $ x_A = f(y_A) = 2 \cdot y^2_A $ durch und erhalten somit die linearisierte Form mit $ \Delta x(t) \approx \frac{df(y)}{dy}|_A \cdot \Delta y(t) = K_S \cdot \Delta y(t) \rightarrow $ $ \Delta x(t) = 2 \cdot 2 \cdot y|_{y_A=4} \cdot \Delta y(t) = 16 \cdot \Delta y(t) $ Tritt eine Änderung $ \Delta y $ der Stellgröße im Arbeitspunkt $ y_A = 4 $ auf, so wird diese mit $ K_S = 16 $ verstärkt.
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Lässt sich eine nichtlineare Kennlinie analytisch darstellen - also durch Gleichungen - so ermittelt sich der Proportionalbeiwert $ K_p $ aus dem Differenzialquotienten der nichtlinearen Gleichung. Die auftretenden Größen sind: Zeitveränderliche Größen der Regelstrecke: $ x_e(t) $ und $ x_a(t) $ Werte des Arbeitspunkt es: $ x_{eA} $ und $ x_{aA} $ Minimale Abweichungen von den Arbeitspunktwerten: $ \Delta x_e(t) $ und $ \Delta x_a(t) $. Merke Hier klicken zum Ausklappen Infolge der Linearisierung wird der Proportionalbeiwert $ K_p $ für den Arbeitspunkt ermittelt. Linearisierung im arbeitspunkt regelungstechnik mrt. Es handelt sich dabei um den Wert, bei dem kleine Abweichungen $ \Delta x_e(t)$ auf den Ausgang $ \Delta x_a(t) $ verstärkt werden. Nichtlineares Übertragungselement Bei der nachfolgenden Abbildung handelt es sich um ein nichtlineares Übertragungselement: Nichtlineares Übertragungselement die zugehörigen Gleichungen sind: $\ x_a = f (x_e) $ $\ x_e = f (x_{eA}) $ $ x_a(t) = x_{aA} + \Delta x_a(t) $ bzw. $ x_a(t) = f (x_{eA} + \Delta x_e(t)) $ 1.
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Das nichtlineare Verhalten des Diodenstroms i D (t) als Funktion der Diodenspannung u D (t) soll in einem Arbeitspunkt mit der Spannung u 0 und dem Strom i 0 linearisiert werden. Bild 3. 9 verdeutlicht die Linearisierung um einen Arbeitspunkt grafisch. Bild 3. 9: Linearisierung um einen Arbeitspunkt am Beispiel der Diodenkennlinie
In dem Arbeitspunkt (u 0 |i 0) wird durch Ableitung der Shockley-Gleichung die Steigung der Tangente bestimmt. (3. 38)
Das Systemverhalten im Arbeitspunkt ergibt sich dann aus der Geradengleichung
(3. 39)
Mit den Bezeichnungen
(3. 40)
(3. 41)
ergibt sich die lineare Beschreibungsform
(3. Linearisierung im arbeitspunkt regelungstechnik irt. 42)
Gleichung (3. 42) stellt eine lineare Näherung für das nichtlineare System Diode im Arbeitspunkt (u 0 |i 0) dar. 9 macht jedoch deutlich, dass diese Linearisierung nur für sehr kleine Werte Δu D ausreichend präzise ist. ♦
Bei der Linearisierung werden nichtlineare Funktionen oder nichtlineare Differentialgleichungen durch lineare Funktionen oder durch lineare Differentialgleichungen angenähert. Die Linearisierung wird angewandt, da lineare Funktionen oder lineare Differentialgleichungen einfach berechnet werden können und die Theorie umfangreicher als für nichtlineare Systeme ausgebaut ist. Tangente [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Tangenten an: blau grün
Das einfachste Verfahren zur Linearisierung ist das Einzeichnen der Tangente in den Graphen. Daraufhin können die Parameter der Tangente abgelesen werden, und die resultierende lineare Funktion ( Punktsteigungsform der Geraden)
approximiert die Originalfunktion um den Punkt. Dabei ist der Anstieg im Punkt. Grafische Verfahren - Regelungstechnik - Online-Kurse. Wenn die Funktion in analytischer Form vorliegt, kann die Gleichung der Tangente direkt angegeben werden. Der relative Fehler der Approximation ist
Für die Funktion gilt beispielsweise:
Die Bestimmung der Tangente entspricht der Bestimmung des linearen Glieds des Taylorpolynoms der zu approximierenden Funktion.