Einleitung Viele Anwendungen kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Zeichne zuerst immer eine Skizze. Markiere den rechten Winkel und alle gegebenen Längen. So siehst du auf den ersten Blick, welche Länge gesucht ist: eine Kathete oder die Hypotenuse. Zur Erinnerung: Der Satz des Pythagoras lautet $$c^2 = a^2 + b^2$$, wenn $$c$$ die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck ist. $$a$$ und $$b$$ sind Katheten. Du rechnest mit dem Satz immer erst eine Fläche aus. Zu einer Länge gelangst du durch Wurzelziehen, z. B. $$c= sqrt (a^2 + b^2)$$. Der Satz des Pythagoras lässt sich umstellen zu der Form $$a^2 = c^2 - b^2$$ oder $$b^2 = c^2 - a^2$$. In jedem Fall wird von dem Hypotenusenquadrat das Kathetenquadrat abgezogen. Die Leiter Wie hoch reicht eine 4 m lange Leiter hinauf, wenn du sie 1, 5 m entfernt von der Hauswand aufstellst? In dieser Aufgabe liegt ein rechtwinkliges Dreieck. Also kannst du den Satz von Pythagoras anwenden, um die fehlende Seite im Dreieck zu berechnen. Skizze: Du siehst, dass die Hypotenuse mit 4 m und eine Kathete mit 1, 5 m gegeben sind.
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Beachte: Das Dreieck muss einen rechten Winkel aufweisen. Die nächste Grafik zeigt ein rechtwinkliges Dreieck, an welchem man den Satz des Pythagoras anwenden kann:
In der linken, unteren Ecke befindet sich ein rechter Winkel. An diesen Grenzen die Seiten a und b an, welche man als Katheten bezeichnet. Die längste Seite ist c und wird Hypotenuse genannt. Folgende Formel wird im Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras am häufigsten verwendet:
Bevor wir uns Beispiele zum Satz des Pythagoras ansehen, kommen wir noch einmal zu den Formeln. Zunächst sehen wir uns an, wie die Formel vom Satz des Pythagoras umgestellt aussehen. Daher erst einmal "alle Formeln" zum Satz des Pythagoras oder genauer gesagt die bekannte Formel umgestellt:
Satz des Pythagoras "alle Formeln" / umgestellt:
Anzeige: Satz des Pythagoras: Beispielrechnung
In diesem Abschnitt sehen wir uns zunächst eine Beispielrechnung zum Satz des Pythagoras an. Im zweiten Beispiel gibt es noch eine Textaufgabe um den Satz des Pythagoras anzuwenden.
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In diesem Beitrag definiere ich zuerst die Bezeichnungen im rechtwinkligem Dreieck, Hypotenuse und Kathete. Danach stelle ich die Formel vor und beweise sie anhand einer Zeichnung. Anschließend führe ich die Rechnung anhand einiger Beispielaufgaben vor. Definition Hypotenuse: Im rechtwinkligen Dreieck nennt man die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, Hypotenuse. Definition Kathete: Die den rechten Winkel einschließenden Seiten heißen Katheten. Satz des Pythagoras Beweis und Formel Wenn wir aus allen drei Seiten des Dreiecks Quadrate machen, dann ist die Fläche aus den beiden Katheten genauso groß wie die Fläche aus der Hypotenuse. Dies können Sie leicht in der Zeichnung erkennen. Mathematisch ausgedrückt heißt das: Im rechtwinkligen Dreieck hat das Hypotenusenquadrat denselben Flächeninhalt wie die beiden Kathetenquadrate zusammen. Hierzu die Formel: Das kann sehr hilfreich sein, wenn wir nur einen Teil der Informationen eines rechtwinkligen Dreiecks haben. Hierzu ein paar Beispielaufgaben: Berechnen Sie die fehlenden Längen in einem rechtwinkligem Dreieck!
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Nach dem Satz des Pythagoras muss man die Quadrate beider Differenzen summieren und aus dem Ergebnis die Wurzel ziehen, um die Entfernung zwischen A und B zu erhalten.
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a) b) c) Lösung:a) b) c) Hier finden Sie Aufgaben zum Satz des Pythagoras aus der Technik I. Hier eine Tabellen zum Umrechnen von Zehnerpotenzen, Längen, Flächen, Volumen mit Übungsaufgaben und Lösungen. Und hier eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Geometrie, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.
Lösung: $$a^2=c^2-b^2$$ $$a^2=4^2-1, 5^2$$ $$a^2=16-2, 25$$ $$a^2=13, 75$$ $$|sqrt()$$ $$a approx 3, 7$$ $$m$$ Am Ende einer Anwendungsaufgabe kommt ein Antwortsatz. Die Leiter reicht ca. 3, 7 m an der Hauswand hinauf. Bei dem Wurzelziehen kommt in den meisten Fällen eine nicht abbrechende Dezimalzahl heraus. Du rundest das Ergebnis. In dem Beispiel wurde auf eine Nachkommastelle gerundet. Das Spielfeld Mathias läuft beim Training 10 x diagonal über das Feld mit den Maßen 100 m mal 50 m. Legt Mathias eine längere Strecke als 1 km zurück? Skizze: Du siehst, dass die Hypotenuse fehlt. Lösung: $$c^2=a^2+b^2$$ $$c^2=100^2+50^2$$ $$c^2=10000+2500$$ $$c^2=12500$$ $$c approx 111, 8$$ $$m$$ Mathias läuft die Strecke 10 Mal. $$111, 8*10=1118$$ $$m$$ $$1$$ $$km$$ $$=1000$$ $$m$$ Antwortsatz: Mathias legt mehr als 1 km zurück. Bild: (Jenny Hill) kann mehr: interaktive Übungen und Tests individueller Klassenarbeitstrainer Lernmanager Kombination von Aufgabentypen Pythagorasaufgaben können auch mit anderen Feldern der Mathematik kombiniert werden.