Die erste Komponente entspricht dem Realteil und die zweite dem Imaginärteil. Die folgende Abbildung zeigt die komplexen Zahlen \(z1 = 3 + i\) und \(z2 = 1 + 2i\) und das visualisierte Ergebnis der komplexen Addition. Subtraktion in der Gaußschen Zahlenebene
Bei der geometrischen Subtraktion zweier komplexer Zahlen \(z_1\) und \(z_2\) wird ähnlich verfahren. Es gilt, komplexe Zahlen werden subtrahiert,
indem man die Realteile und Imaginärteile separat subtrahiert - ebenso wird bei der Subtraktion von Vektoren verfahren. Die Subtraktion der Vektoren \(z_1\) und \(z_2\) wird in der Praxis so durchgeführt,
dass man zum Vektor zu \(z_1\) den zu \(z_2\) entgegengesetzten Vektor, d. h. den Vektor zu \(-z_2\) addiert. Denn es gilt \(z_1- z_2 = z_1+ (-z_2)\). Die folgende Abbildung zeigt die geometrische Subtraktion:
Die Differenz \(z_1 - z_2\) kann durch den Vektor von \(0\) zu \(z_1 - z_2\) oder auch durch den Vektor von \(z_2\) zu \(z_1\) dargestellt werden. Beide Vektorenhaben die gleiche Länge, Richtung und Orientierung.
Komplexe Zahlen Addieren Online
Wir wollen uns hier nochmals genauer mit den komplexen Zahlen beschäftigen. Komplexe Zahlen sind hilfreich für viele Methoden in der Mathematik, Physik und Technik. Zum Beispiel verwendet die Wechselstromtechnik komplexe Zahlen. Auch der Frequenzgang basiert auf komplexwertige Funktionen. Pures Python ¶
Eine komplexe Zahl kann in Python einfach durch das Hinzufügen des Buchstabens 'j' nach einer Zahl erzeugt werden. Warnung
Der Buchstabe j alleine würde nicht ausreichen, es muss immer ein Zahl davor stehen. Wir wollen nun die Definition \(j^2=-1\) überprüfen. Eine komplexe Zahl besitzt einen Realteil und einen Imaginärteil. Den Realteil erhalten wir einfach mit dem Attribut real. Den Imaginärteil erhalten wir mit dem Attribut imag. Wir wollen nun die Datentypen der einzelnen Objekte untersuchen. print ( type ( z))
print ( type ( z. real))
print ( type ( z. imag))
Wie erwartet sind der Realteil und der Imaginärteil von Typ float. Um daraus wieder eine komplexe Zahl zu erstellen, müssen wir den Imaginärteil mit 1j multiplizieren.
Komplexe Zahlen in kartesischer Form kann man ganz normal addieren. Beispiel
Es sollen die beiden komplexen Zahlen 1 + 2i und 1 - i addiert werden:
(1 + 2i) + (1 - i) = 1 + 2i + 1 - i = 2 + i.
Komplexe Zahlen Addieren Rechner
Die beiden Vektoren addieren wir nun graphisch:
Wir lesen die Koordinaten des Ergebnisvektors ab: Es ergibt sich der Vektor $ \vec{s}=\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ \end{pmatrix} $, welcher der komplexen Zahl $ 6+4i $ entspricht. Rechnerisch ergibt sich dasselbe:
$(\color{red}{2+3i}) + (\color{blue}{4+i}) = (\color{red}{2} + \color{blue}{4}) + (\color{red}{3i} + \color{blue}{i}) = 6 + 4i \\[8pt] $
Rechengesetze, die gelten: Assoziativgesetz:
$ x + (y + z) = (x+y) +z $
Beispiel: $ (2+3i) + ((2+4i) + (4-6i)) = ((2+3i) + (2+4i)) + (4-6i) $ Kommutativgesetz
$a+b = b+a$
Beispiel: $(3-5i) + (6-i) = (6-i) + (3-5i)$ Abgeschlossenheit
Wenn du zwei komplexe Zahlen addierst, kommt stets wieder eine komplexe Zahl heraus. Über die Autoren dieser Seite
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Rechts: dieselbe Addition nach Rotation um den Winkel. Wie können aber eine Vereinfachung machen, und z. B. den Winkel »herausheben« (s. 4, rechts):. Die Summe in der Klammer ist die Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks mit den Katheten und. Die Länge der Summe ist daher,
weil ist. Die Richtung der Summe ist, wobei gilt:. Beim muss man dann wieder aufpassen, in welchem Quadranten man sich in Abb. 4 (rechts) befindet. Insgesamt haben wir dann. Diskussion
Für gleich lange Pfeile ist die Addition in Polarkoordinaten eigentlich gar nicht so schwierig. Für unterschiedliche Längen sieht die Sache leider anders aus. Ich hatte gehofft, eine schönere Herleitung zu finden, aber bin über die Version oben nicht hinaus gekommen. BTW: Die Addition verschieden langer Pfeile haben wir etwas anders schon am Ende von Teil 6 besprochen.