Einführung
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Eine Funktion ist stetig an der Stelle, falls gilt
Anschaulich bedeutet das, dass eine Funktion in der Regel stetig ist, wenn du sie ohne absetzen zeichnen kannst. Das ist jedoch nur die vereinfachte Definition und mathematisch nicht ganz korrekt. Gründe für Unstetigkeit
Es kann drei verschiedenen Gründe haben, warum eine Funktion nicht stetig ist:
Beispiel 1
Überprüfe ob die Funktion stetig ist. Der linke Teil der Funktion ist stetig. Auch der rechte Teil ist stetig. Du musst also nur die Stelle überprüfen. Daraus folgt:
Die Funktion ist somit stetig. Aufgabensammlung Mathematik: Stetigkeit – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher. Beispiel 2
Die Funktion ist somit nicht stetig in. Weiter lernen mit SchulLV-PLUS! Jetzt freischalten
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Aufgaben
1. Gib eine kurze Beschreibung für den Begriff Stetigkeit wieder. Zeige zwei Beispiele für eine stetige und eine nicht stetige Funktion. 2. Untersuche die Funktion jeweils auf Stetigkeit. Es gilt für jede Funktion.
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f(x) =x 2 +1 erfüllt an der Stelle x 0 =3 also das Epsilon-Delta-Kriterium. f(x) ist damit an der Stelle x 0 =3 stetig. Beidseitiger Grenzwert
Du hast jetzt zwei verschiedene Wege kennengelernt Unstetigkeiten zu finden. Aufgaben zu stetigkeit restaurant. Am schnellsten ist dabei die Methode des beidseitigen Grenzwertes. Damit du den immer zuverlässig berechnen kannst, musst du dir unbedingt unser Video dazu anschauen! Zum Video: Grenzwert
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Funktionen
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Nun wurde die Korrektur jedoch in die falsche Richtung hinzugerechnet, so dass die Brücke auf der deutschen Seite oberhalb des geplanten Widerlagers auftraf. Auf der deutschen Seite wurde daher Erde aufgeschüttet. Aufgaben zu stetigkeit german. Die neue Oberfläche der Erde kann für beschrieben werden durch eine Funktion der Schar mit
Bestimme die Parameter so, dass am Widerlager kein Höhenunterschied mehr besteht und Brücke und Erdboden dieselbe Steigung haben. Die Funktion, definiert als
soll also einmal differenzierbar sein. Berechne die Variablen auf eine Genauigkeit von Stellen nach dem Komma. Lösung zu Aufgabe 5
Ausderdem:
Somit muss folgendes Gleichungssystem gelöst werden:
Division der zweiten Gleichung durch die erste Gleichung liefert
Durch Einsetzen erhält man weiter
Eine Gleichung der gesuchten Funktion lautet also
Aufgabe 6
Gegeben sind für folgende zwei Funktionenscharen und:
Überprüfe, ob ein existiert, so dass die Graphen von und an der Stelle krümmungsruckfrei ineinander übergehen. Bestimme den Wert von, falls eines existiert.
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nicht erfüllt, ist f(x). Eine unstetige Funktion, die Bedingung 2. ) nicht erfüllt: Der rechts- und linksseitige Limes unterscheiden sich. Es existiert also kein beidseitiger Grenzwert. Dagegen ist g(x) eine unstetige Funktion, die Bedingung 3. ) nicht erfüllt. Eine unstetige Funktion, die Bedingung 3. ) nicht erfüllt: Der beidseitige Limes an der Stelle x=a ist ungleich dem Funktionswert an der Stelle x=a. Epsilon-Delta-Kriterium
Der strenge mathematische Beweis von Stetigkeit ist das – -Kriterium (Epsilon-Delta-Kriterium):
Ausgeschrieben heißt das: "Für jedes beliebig wählbare Epsilon größer als Null gibt es ein Delta größer als Null. Dann soll für alle x aus dem Definitionsbereich D deiner Funktion f folgende Aussage gelten: Wenn der Abstand zwischen x und x 0 kleiner als Delta ist, dann ist auch der Abstand zwischen f(x) und f(x 0) kleiner als Epsilon. Aufgaben zur Stetigkeit - lernen mit Serlo!. " Aber was bedeutet das? Wenn du von zwei Punkten auf deiner stetigen Funktion den Abstand der x-Koordinaten () verkleinerst, muss gleichzeitig der Abstand zwischen den y-Koordinaten () kleiner werden.
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Wichtige Inhalte in diesem Video
Meistens wird beim Diskutieren von Funktionen Stetigkeit vorausgesetzt. Wie du eine stetige Funktionen erkennst, zeigen wir dir hier. Schaue dir auch unser passendes Video an! Stetigkeit in der Mathematik - Übungen und Aufgaben. Stetigkeit einfach erklärt im Video zur Stelle im Video springen (00:15)
Bildlich gesprochen ist eine Funktion stetig, wenn du sie als eine einzelne Linie ohne Absetzen deines Stiftes zeichnen kannst. Mathematischer formuliert findest du die Stetigkeit von Funktionen, indem du den rechtsseitigen Grenzwert mit dem linksseitigen Grenzwert vergleichst. Stetigkeit zeigen
Eine Funktion ist an der Stelle x 0 stetig, wenn sie 3 Bedingungen erfüllt:
Die Funktion ist an der Stelle x 0 definiert: f(x 0) existiert. Der rechts- und linksseitige Grenzwert sind an der Stelle x 0 gleich: Der beidseitige Grenzwert
existiert. Der Grenzwert ist gleich dem Funktionswert:
Ist die Stetigkeit einer Funktion an jeder Stelle gegeben, handelt es sich um eine stetige Funktion. direkt ins Video springen
Eine stetige Funktion (blau, links) und eine unstetige Funktion (rot, rechts) mit einer Unstetigkeit bei x=1.
Es gelten:
Somit ist der Übergang der Graphen und zwar stetig und differenzierbar, aber nicht krümmungsruckfrei. Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:
Gegeben ist die Funktion
Zeige, dass die Funktion an der Stelle einmal differenzierbar ist, jedoch nicht zweimal. Lösung zu Aufgabe 1
Definiere die Funktionen und folgendermaßen:
Dann gelten
Die Funktion ist als Zusammensetzung der beiden Funktionen an der Stelle stetig. Weiter gilt
Da die Funktion an der Übergangsstelle stetig ist und die Funktionenswerte der Ableitungen und an der Stelle übereinstimmen, ist die Funktion einmal differenzierbar an der Stelle und damit für alle. Nun gilt weiter:
Die zweiten Ableitungen der Funktionen und stimmen an der Stelle nicht überein und somit ist die Funktion nicht zweimal differenzierbar an der Stelle. Endlich konzentriert lernen? Komm in unseren Mathe-Intensivkurs! Aufgaben zu stetigkeit 2. 50. 000 zufriedene Kursteilnehmer
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Aufgabe 2
Gegeben ist für die Funktion mit
Zeige, dass die Funktion mit
an der Stelle denselben Wert, dieselbe Ableitung und dieselbe Krümmung wie die Funktion besitzt.
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