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Die Implementierung ist nur der Anfang, nichtsdestotrotz ist sie unerlässlich für den Beweis der Aussage. Die Rahmenbedingungen des Induktionsanfangs müssen so gewählt werden, dass sie den Induktionsschritt gezielt unterstützen. Oder anders ausgedrückt, die Rahmenbedingungen der Implementierung müssen so gewählt werden, dass sie die Argumentation gezielt unterstützen. Dass vor allem Letzteres äußerst wichtig ist, sieht man auch am sogenannten Pferde-Paradox. Dabei kann man mit Hilfe der vollständigen Induktion scheinbar beweisen, dass alle Pferde dieselbe Farbe haben. Der Induktionsanfang mit n = 1 ist klar. Ein Pferd hat dieselbe Farbe wie es selbst. Nun nimmt man eine Menge aus n + 1 Pferden und teilt diese in zwei Mengen auf, eine mit n Pferden und eine mit einem Pferd P. Die Aussage gilt ja laut Voraussetzung für die Menge mit n Pferden, hier haben alle Pferde dieselbe Farbe. Entfernt man ein Pferd aus dieser Menge und ersetzt es durch das zusätzliche Pferd P, so bleibt es eine Menge von n Pferden.
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en hatte. Inhalt 1 Das Argument 1. 1 Basisfall: Ein Pferd 1. 2 Induktiver Schritt 2 Erlauterung 3 Siehe auch 4 Referenzen Das Argument Alle Pferde haben das gleiche Farbparadoxon, der Induktionsschritt schlagt fur n = 1 fehl Das Argument ist durch Induktion bewiesen. Zuerst erstellen wir einen Basisfall fur ein Pferd () beweisen dann, dassPferde, wennsie die gleiche Farbe haben, auch die gleiche Farbe haben mussen. n = 1 {\ displaystyle n = 1} n {\ displaystyle n} n 1 {\ displaystyle n 1} Basisfall: Ein Pferd Der Fall mit nur einem Pferd ist es nur ein Pferd in der "Gruppe" gibt, haben eindeutig alle Pferde in dieser Gruppe die gleiche Farbe. Induktiver Schritt Angenommen, Pferde haben immer die gleiche ellen Sie sich eine Gruppe vor, die ausPferden besteht. n {\ displaystyle n} n 1 {\ displaystyle n 1}
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Paradox aus einem falschen Beweis durch mathematische Induktion"Pferdeparadoxon" leitet hier chinesisches Paradoxon fur wei? e Pferde finden Sie unter Wenn ein wei? es Pferd kein Pferd ist. Alle Pferde haben die gleiche Farbe. Dies ist ein falsidisches Paradoxon, das sich aus einer fehlerhaften Verwendung der mathematischen Induktion ergibt, um die Aussage zu beweisen. Es gibt keinen tatsachlichen Widerspruch, da diese Argumente einen entscheidenden Fehler aufweisen, der sie falsch Beispiel wurde ursprunglich von George Polya in einem Buch von 1954 in verschiedenen Begriffenangesprochen: "Sind n Zahlen gleich? "oder "Alle n Madchen haben Augen der gleichen Farbe", als Ubung in der mathematischen wurde auch als "Alle Kuhe haben die gleiche Farbe" angepasst. Die "Pferde" -Version des Paradoxons wurde 1961 in einem satirischen Artikel von Joel E. Cohen vorgestellt. Es wurde ein Lemma angegeben, das es dem Autor insbesondere ermoglichte, zu "beweisen", dass Alexander der Gro? e nicht existierte und unendlich viele Gliedma?
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Induktionsbeweis [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Pferde-Paradox, Induktionsschritt funktioniert nur für und nicht für
Die zu beweisende Aussage kann wie folgt formuliert werden: [2]
In einer Herde mit Pferden besitzen alle Pferde die gleiche Farbe. Nun führt man eine Induktion über durch und verankert die Induktion für. Induktionsverankerung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Besteht die Herde nur aus einem Pferd, so besitzen offensichtlich alle Pferde der Herde die gleiche Farbe. [3] [2]
Induktionsschritt [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Nun setzt man voraus, dass die Aussage bereits für jede Herde mit Pferden gilt und zeigt, dass sie dann auch für jede Herde mit Pferden gilt. Eine Herde mit Pferden spaltet man in eine Herde von Pferden und ein einzelnes Pferd auf. In der Herde mit Pferden besitzen nun nach Induktionsvoraussetzung alle die gleiche Farbe, allerdings ist noch unklar, ob diese der des einzelnen Pferdes entspricht. Nun entfernt man ein weiteres Pferd aus der Herde mit gleichfarbigen Pferden, damit hat man nun eine gleichfarbige Herde von, ein Einzelpferd, das dieselbe Farbe wie die Herde besitzt, und ein Einzelpferd unbekannter Farbe.
Für einen korrekten Beweis müsste die Induktionsverankerung daher für anstatt für durchgeführt werden. Dies ist jedoch nicht möglich, da man nicht garantieren kann, dass zwei beliebige Pferde die gleiche Farbe besitzen. [3] [2]
Sonstiges [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
In der Literatur wird das Pferde-Paradox gelegentlich dem Mathematiker George Pólya (1887–1985) zugeschrieben. [4] [5] Dieser beschrieb es unter anderem in seinem 1954 erschienenen Buch Induction and Analogy in Mathematics in einer Übungsaufgabe, dort ist allerdings nicht von Pferden die Rede, stattdessen wird die Aussage Any girls have eyes of the same color (dt. " Mädchen haben immer dieselbe Augenfarbe") untersucht. [6] Generell kann man den fehlerhaften Induktionsbeweis natürlich für beliebige Eigenschaften von Elementen einer Menge durchführen, weshalb sich in der Literatur oft unterschiedliche Einkleidungen des Problems finden. So wird im deutschsprachigen Raum in Anlehnung an die Redensart Nachts sind alle Katzen grau oft bewiesen, dass alle Katzen grau sind.