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Logarithmische Skalierung
05. Dez. 2006
Von: Johann Moser
Kategorie: Logarithmus
gedruckt am 16. May. 2022
Exponentialfunktionen steigen bei entsprechender Basis sehr stark, das führt bei der grafischen Darstellung zu dem Problem, dass im Bereich kleiner x-Werte die y-Werte nicht mehr unterschieden werden können, was aber manchmal wichtig ist. Übung zum Problembewußtsein: Stelle die Exponentialfunktion zur Basis 10 grafisch dar (Bereich für die x-Werte: 0 bis 5) und versuche, im Bereich zwischen x = 0 und 2 Unterschiede der y-Werte festzustellen! Steigung logarithmische skala deutsch. Um dieses Problem zu umgehen, wird die y-Skala logarithmisch skaliert, das heißt anstelle von 0, 1, 2, … wird in gleichen Abständen 10hoch0, 10hoch1, 10hoch2, geschrieben. Der Verlauf der Kurve wird dadurch verzerrt, die y-Werte werden in allen Bereichen leichter vergleichbar. Interessanterweise wird der Graf dieser Exponentialfunktion zu einer Linie bzw. Geraden mit der Steigung 1. Um beliebige Exponentialfunktionen linear darstellen zu können (damit in allen Größenbereichen Unterscheidungen zu sehen sind), muss die Exponentialfunktion zur Basis 10 dargestellt werden:
Die Umformung geschieht wie folgt:
Achtung: Die mögliche logarithmische Skalierung der y-Achse hat eine wichtige Konsequenz: nicht alles, was aussieht wie eine Gerade ist auch eine Gerade!
Steigung Logarithmische Skala 1-5
Wir müssen auch diesmal wieder die Funktionsgleichung
logarithmieren:
Erkennen Sie auch diesmal die Geradengleichung? Wieder haben wir es
mit zwei Konstanten zu tun ( und) und wir können
die Gleichung umschreiben zu:
Trägt man wieder die logarithmierten Wertepaare
in ein kartesisches Koordinatensystem ein, so erhält man eine Gerade,
weil zwischen beiden Werten eine lineare Beziehung herrscht. Außerdem
erhält man ebenfalls eine Gerade, wenn man anstelle der linearen -
und -Achsen solche mit logarithmischer Unterteilung verwendet
(siehe Abbildung 4708). Abb. 4708 Auftragung y=a*x^(c) in verschieden skalierten Diagrammen
Das soll wieder an einem Beispiel eingeführt werden:
Übung
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion auf doppeltlogarithmischen
Papier mit Hilfe folgender Tabelle ein:
Abb. 4709
Als Graph erhält man eine Gerade. Diese Gerade wird
die Steigung besitzen, da der Exponent 2 betrug. Steigung logarithmische sala de prensa. (Falls
Sie versuchen, die Steigung zu berechnen und nicht auf diesen Wert
kommen: Warten Sie auf das folgende Kapitel, da wird sich das Problem
klären. )
Steigung Logarithmische Skala Deutsch
Verschiedene Logarithmuspapiere
Bisher haben wir nur Koordinatensysteme betrachtet, in denen die -Achse
logarithmisch skaliert ist (Logarithmuspapier vom Typ 1). Solche Logarithmuspapiere nennt man halb-logarithmisch. Halblogarithmisch deswegen, weil nur eine Achse so eingeteilt ist. Es ist dementsprechend auch Papier vorstellbar, in der die -Achse
die logarithmische Skalierung aufweist ( Typ 2). Diese Einteilung
folgt den selben Gesetzmäßigkeiten wie auf der -Achse und
wir müssen glücklicherweise nicht umdenken. Als dritte Art taucht
das doppeltlogaritmische Papier auf ( Typ 3. LP – Verschiedene Logarithmuspapiere. Wie
der Name schon vermuten läßt, sind beide Achsen logarithmisch skaliert. Wir wollen uns in diesem Kapitel überlegen, bei welchen Funktionstypen
sich welches Papier anbietet, denn wir werden sehen, dass geeignet
gewählte Logarithmuspapiere eine gewaltige Arbeitserleichterung mit
sich bringen. Logarithmuspapier vom Typ 1
Betrachten wir zunächst eine Funktion der Art
Diese Beziehung sollte ihnen bereits bekannt vorkommen: Wir haben
mit dieser Funktion exponentielle Wachstums- und Abbauprozesse beschreiben
können ( Exponentialfunktionen).
Steigung Logarithmische Sala De Prensa
– oder jeder Schritt ist 7, 9775% größer als der letzte. Grafische Darstellung und Analyse
Dekaden auf einer logarithmischen Skala anstelle von Einheitsschritten (Schritte von 1) oder einer anderen linearen Skala werden üblicherweise auf der horizontalen Achse verwendet, wenn der Frequenzgang elektronischer Schaltungen in grafischer Form dargestellt wird, z. B. in Bode-Plots, da große Frequenzbereiche dargestellt werden auf einer linearen Skala ist oft nicht praktikabel. Die Dezibel-Skala einfach erklärt | akustikform.ch. Zum Beispiel hat ein Audioverstärker normalerweise ein Frequenzband im Bereich von 20 Hz bis 20 kHz, und es ist sehr praktisch, das gesamte Band mit einer logarithmischen Dekadenskala darzustellen. Typischerweise beginnt der Graph für eine solche Darstellung bei 1 Hz (10 0) und geht bis vielleicht 100 kHz (10 5), um das gesamte Audioband bequem in ein Millimeterpapier in Standardgröße einzuschließen, wie unten gezeigt. Während Sie bei gleicher Entfernung auf einer linearen Skala mit 10 als Hauptschrittweite möglicherweise nur von 0 bis 50 gelangen.
Steigung Logarithmische Skala Englisch
Wir sehen eigentlich
schon auf erstem Blick, dass bei der Auftragung der Funktion
eine Gerade herauskommen muss denn:
Die Größe und sind wieder Konstanten und
ist unsere Variable. Zwischen den Größen und
in besteht eine lineare Beziehung und wir erhalten
deswegen eine Gerade. Zur Veranschaulichung soll Abbildung 4706
herhalten. Auch hier, wie in Abschnitt "Logarithmuspapier vom Typ 1" ebenfalls,
ist zu erkennen, dass die verschiedenen Auftragungen vollkommen analog
sind. Abb. Jomo.org | Logarithmische Skalierung. 4706 Auftragung von y=c*lg(x)+a in verschieden skalierten Diagrammen
Übung:
Zeichnen Sie in Abbildung 4707 die Werte aus der dazugehörigen Tabelle
ein. Abb. 4707
Der Graph ist eine Gerade, es handelt sich somit um eine Funktion
der Form:
Lösung. Wir erhalten die Auftragung
Abb. 4725
und die dazugehörige Gleichung
Erinnern Sie sich? Das ist die Nernstsche Gleichung, die wir in den
physikalischen Beispielen im Begleittext " Der Logarithmus "
bereits kennengelernt haben! Der Graph der Funktion ist eine Gerade, wenn
man
Logarithmuspapier vom Typ 3
In diesem Abschnitt werden wir herleiten, dass alle Potenzfunktionen,
also Funktionen, die der Beziehung
genügen, sich in einem doppeltlogarithmisch skalierten Koordinatensystem
in eine Gerade verwandeln.
Vier Zehnerpotenzen über einen Bereich von drei Dekaden: 1, 10, 100, 1000 (10 0, 10 1, 10 2, 10 3)
Vier Raster mit einer Auflösung von drei Dekaden: Eintausend 0, 001 s, einhundert 0, 01 s, zehn 0, 1 s, eins 1. Eine Dekade (Symbol dec) ist eine Einheit zur Messung von Verhältnissen auf einer logarithmischen Skala, wobei eine Dekade einem Verhältnis von 10 zwischen zwei Zahlen entspricht. Beispiel: Wissenschaftliche Notation
Wenn eine reelle Zahl wie. Steigung logarithmische scala de milan. 007 alternativ mit 7. × 10 —3 bezeichnet wird, dann sagt man, dass die Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise dargestellt wird. Allgemeiner gesagt, eine Zahl in der Form a × 10 b zu schreiben, wobei 1 < a < 10 und b eine ganze Zahl ist, bedeutet, sie in wissenschaftlicher Schreibweise auszudrücken, und a heißt der Signifikand oder die Mantisse und b ist ihr Exponent. Die so ausdrückbaren Zahlen mit einem Exponenten gleich b umfassen eine einzige Dekade, von 10^b bis 10^(b+1). Frequenzmessung
Dekaden sind besonders nützlich bei der Beschreibung des Frequenzgangs von elektronischen Systemen wie Audioverstärkern und Filtern.