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Hier werden die klasssischen Tangentenkonstruktionen vorgestellt. Grundlage 1 für die Konstruktionen ist zum einen die Tatsache, dass die Tangente eines Kreises senkrecht zum Berührungsradius verläuft. Grundlage 2 ist der Satz des Thales. 1. Konstruktion einer Tangente an einen Kreis, wenn der Kreis und ein Punkt P auf dem Kreis gegeben sind. Konstruktionsmöglichkeit: Der Mittelpunkt M wird mit dem Punkt P durch einen Strahl (von M aus) verbunden. Anschließend wird eine Senkrechte zu diesem Strahl im Punkt P konstruiert. Die so erhaltene Senkrechte ist die gesuchte Tangente. 2. Konstruktuktion von Tangenten an einen Kreis, die durch einen außerhalb des Kreises liegenden Punkte verlaufen sollen. Konstruktionsmöglichkeit: Der Mittelpunkt M des gegebenen Kreises und der außerhalb liegende Punkt P werden miteinander verbunden. Die Strecke MP wird halbiert (Grundkonstruktion) und dieser Punkt mit M MP bezeichnet. Nun wird der Kreis (Mittelpunkt M MP, Radius MP /2) gezeichnet - im Bild rot.
- Konstruktion einer tangente et
- Konstruktion einer tangente au
Konstruktion Einer Tangente Et
Verbinden Sie die beiden Schnittpunkte Ihrer Halbkreise. Sie haben nun die Mitte der Strecke MP. Diesen Punkt nennen Sie zum Beispiel Q. Zeichnen Sie einen Kreis mit Radius QM und dem Mittelpunkt Q. Die Schnittpunkte B1 und B2 dieses Kreises mit Ihrem eigentlichen Kreis sind die Berührungspunkte der Tangenten. Nun müssen Sie nur noch die beiden Schnittpunkte mit P verbinden. Wieso ist das so? Ganz einfach: Der Kreis um Q ist ein Thaleskreis. Jeder Peripheriewinkel auf diesem Kreis hat 90 Grad. In dem Punkt, in dem sich die beiden Kreis schneiden, sind zwei Bedingungen erfüllt: Der Winkel MBT hat 90 Grad (siehe oben) und der Punkt liegt auf dem Kreis. Folglich muss hier die Tangente den Kreis berühren. Wie Sie die äußeren Tangenten konstruieren
Es ist auch möglich, die beiden Tangenten zu konstruieren, die zwei beliebigen Kreisen anliegen. Man nennt diese äußere Tangenten. Der kleinere Kreis hat den Radius r1 und den Mittelpunkt M1, der größere den Radius r2 und den Mittelpunkt M2. Bereits in der Antike befasste man sich mit dem Problem, einen Kreis zu dritteln.
Konstruktion Einer Tangente Au
Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt und dabei die gleiche Steigung wie die Kurve hat. Das Wort Tangente kommt aus dem lateinischen (tangere) und bedeutet soviel wie "berühren". Die Frage nach der Steigung einer Funktion an einer Stelle war eine zentrale Fragestellung, die schließlich zur Entwicklung der Analysis geführt hat. Geometrische Herleitung
Die Tangente kann auch geometrisch hergeleitet werden. Man fängt mit einer Sekante an, also mit einer Geraden, welche die Kurve nicht in einem, sondern in zwei Punkten schneidet. Die Sekante (rot) in unserem Beispiel schneidet die Kurve (blau) an den Stellen x und x + h. Die Steigung der Sekante kann durch die zwei Schnittpunkte mit der Kurve ermittelt werden. Der resultierende Term ist der Differenzenquotient:
Steigung der Sekante =
Die beiden Punkte werden auf der x -Achse durch die Länge h voneinander getrennt. Indem wir h immer kleiner werden lassen, strebt auch die Sekante immer weiter in Richtung der Tangente.
Die Werte in die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion einsetzen und nach $n$ auflösen. $\rightarrow$ Wir erhalten den y-Achsenabschnitt. Die Tangentengleichung notieren. Schauen wir uns dies an einem Beispiel an:
Beispielaufgabe - Tangentengleichung bestimmen
Beispiel
Hier klicken zum Ausklappen Die Funktion $f(x) = 2x^2-6x+4$ wird von einer Tangente an der Stelle $x=3$ berührt. Bestimme die Tangentengleichung! 1. Wir berechnen den dazugehörigen y-Wert:
$f(3) = 2\cdot 3^2-6\cdot 3+4 = 4$
Der Berührungspunkt ist $P_B(3/4)$
2. Die Funktion wird abgeleitet:
$f(x) = 2x^2-6x+4$
$f'(x) = 4x-6$
3. Um die Steigung an der Stelle $x=3$ zu ermitteln, setzen wir den Wert in die Ableitung ein. Damit erhalten wir die Steigung an der Stelle $x=3$. $m = f'(3) = 4\cdot 3-6 = 6~~~\rightarrow~~~ \textcolor{red}{m=6}$
An der Stelle $x=3$ hat die Funktion also eine Steigung von ${m=6}$. Willst du nun die Tangentensteigung berechnen, hast du es jetzt leicht. Denn die Steigung eines Graphen in einem Punkt ist gleich der Steigung der Tangente an dem Graphen in diesem Punkt, also auch ${m=6}$.