Kategorie: Vektoren Parameterdarstellung einer Geraden Aufgaben
Aufgabe: Vektoren implizite Darstellung in Parameterform umformen
gegeben: ist die Gerade g: - 6x + 2y = 8
gesucht: a) explizite Darstellung b) Parameterdarstellung mit x = 0
Lösung: Vektoren implizite Darstellung in Parameterform umformen
a) Explizite Darstellung:
Anweisung: Umformung auf y! -6x + 2y = 8 / + 6x
2y = 6x + 8 /: 2
y = 3x + 4
b) Parameterdarstellung:
1. Schritt: Ermittlung von k
k = 3
2. Schritt: Ermittlung des Richtungsvektors
3. Geradengleichung in parameterform umwandeln. Schritt: Ermittlung eines beliebigen Punktes
Wir ersetzen x durch 0 und setzen in die explizite Darstellung ein! y = 3 • 0 + 4
4y = 4
d. f. Punkt (0/4)
4. Schritt: Aufstellen der Geradengleichung in Vektorform
= + t •
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3 8 ist ja der Anstieg k der Geraden. Zwischen Anstieg der Geraden und Richtungsvektor besteht folgende Beziehung: v → = ( 1 k) Womit ich ebenfalls alle notwendigen Angaben für die Parameterform habe. 12:47 Uhr, 04. 2012
Okay vielen dank:-)
Ersetzt man den Normalvektor \( \overrightarrow n\) durch dessen Einheitsvektor \(\overrightarrow {{n_0}}\), so erhält man die Hesse'sche Normalform. Die Gerade ist also durch einen Punkt und einen Vektor der Länge 1 in Richtung der Normalen auf die eigentliche Gerade definiert. Vektoren Implizite Darstellung in Parameterform umformen. \(\overrightarrow {{n_0}} \circ \left( {X - P} \right) = 0\)
Allgemeine Form der Geradengleichung
Bei der allgmeinen bzw. impliziten Form einer Geraden sind die Koeffizienten a und b zugleich die Koordinaten des Normalvektors \(\overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b \end{array}} \right)\) und die Variablen x und y sind die Koordinaten aller jener Punkte \(X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right)\), die auf der Geraden liegen. Es handelt sich bei dieser Darstellungsform um eine lineare Funktion in impliziter Schreibweise, bei der die Koeffizienten a und b jedoch nicht willkürlich, sondern die Koordinaten vom Normalvektor sind. \(\begin{array}{l} g:a \cdot x + b \cdot y + c = 0\\ g(x) = - \dfrac{a}{b} \cdot x - \dfrac{c}{b}\\ \overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_x}}\\ {{n_y}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b \end{array}} \right) \end{array}\)
Die Koeffizienten der allgemeinen Form der Geradengleichung sind zugleich die Koordinaten vom Normalvektor.
Die Gerade wird also durch zwei Punkte definiert \(g:X = A + \lambda \overrightarrow { \cdot AB} \)
Normalform der Geradengleichung (nur in R 2)
Bei der Normalvektorform der Geraden g wird ein Punkt P auf der Geraden und ein Vektor \(\overrightarrow n \) benötigt, der normal (also im rechten Winkel) auf die Gerade g steht. Mit Hilfe dieser beiden Bestimmungsgrößen kann zwar eine Gerade in der Ebene nicht aber im Raum eindeutig festgelegt werden. Vektorschreibweise der Normalform der Geradengleichung
Sind von einer Geraden g ein Punkt P und ihr Normalvektor \( \overrightarrow n\) gegeben, so gilt für alle Punkte X der Geraden, dass der bekannte Normalvektor \( \overrightarrow n\) und alle Vektoren \(\overrightarrow {PX} \) normal auf einander stehen, womit ihr Skalarprodukt Null ist. Von der Hauptform einer Geraden zur Parameterform? | Mathelounge. Die Gerade ist also duch einen Punkt und eine Normale auf die eigentliche Gerade definiert. \(\begin{array}{l} g:\overrightarrow n \cdot X - \overrightarrow n \cdot P = 0\\ g: \overrightarrow n \cdot \left( {X - P} \right) = 0 \end{array}\)
Hesse'sche Normalform der Geradengleichung
Bei der Normalvektorform der Geraden g wird ein Punkt P auf der Geraden und ein Vektor n benötigt, der normal (also im rechten Winkel) auf der Geraden g steht.