Wenn wir in einem Vektorraum V V einerseits eine Menge L L linear unabhängiger Vektoren haben, und andererseits ein Erzeugendensystem E E, dann liegt der Gedanke nahe, sich aus dem Erzeugendensystem so lange mit Vektoren zu versorgen, bis man L L zu einer Basis ergänzt hat. Dass dies tatsächlich möglich ist regelt der:
Satz 15X8 (Basisergänzungssatz)
Sei V V ein Vektorraum, L ⊆ V L\subseteq V linear unabhängig und E ⊆ V E\subseteq V ein Erzeugendensystem von V V. Dann kann man L L so durch Vektoren aus E E ergänzen, dass es zu einer Basis wird. Vektoren zu basis ergänzen video. Beweis
Man wende Satz 15X6 auf L L und E ∪ L E\cup L an. □ \qed
Nicht etwa, daß bei größerer Verbreitung des Einblickes in die Methode der Mathematik notwendigerweise viel mehr Kluges gesagt würde als heute, aber es würde sicher viel weniger Unkluges gesagt. Karl Menger
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einer ONB besitzt jedes Skalarprodukt die Form des Standardskalarproduktes. Konkret bedeutet dies folgendes: besitzen die Vektoren und bzgl. der ONB die Koordinaten bzw. Vektor suchen um die Basis zu erweitern? (Mathe, Vektoren, Algebra). dann gilt im Reellen
und im Komplexen. Bezüglich einer ONB ist die Darstellungsmatrix einer orthogonalen Abbildung eine orthogonale Matrix und die Darstellungsmatrix einer unitären Abbildung ist bzgl. einer orthonormal Basis eine unitäre Matrix. Orthonormalbasis aus Eigenvektoren
Bei der Bestimmung einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren
ist die folgende Erkenntnis nützlich: ist die reelle Matrix symmetrisch, so sind ihre Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten
orthogonal zueinander. Bilden diese Eigenvektoren auch noch eine Basis des betrachteten Vektorraums, so müssen sie lediglich normiert werden, wenn man eine Orthonormalbasis berechnen will. Beliebte Inhalte aus dem Bereich
Lineare Algebra
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Mit
wird die durch das Skalarprodukt induzierte
Norm bezeichnet. Definition und Existenz
Unter einer Orthonormalbasis eines -dimensionalen
Innenproduktraums
versteht man eine Basis
von,
die ein Orthonormalsystem
ist, das heißt:
Jeder endlichdimensionale Vektorraum mit Skalarprodukt besitzt eine
Orthonormalbasis. Mit Hilfe des Gram-Schmidtschen
Orthonormalisierungsverfahrens lässt sich jedes Orthonormalsystem zu
einer Orthonormalbasis ergänzen. Da Orthonormalsysteme stets linear
unabhängig sind, bildet in einem -dimensionalen
Innenproduktraum ein Orthonormalsystem aus
Vektoren bereits eine Orthonormalbasis. Vektoren zu basis ergänzen in de. Händigkeit der Basis
Gegeben sei eine geordnete Orthonormalbasis
von. Dann ist die Matrix
gebildet aus den als Spaltenvektoren notierten Vektoren
orthogonal
und hat deshalb die Determinante
+1 oder −1. Falls
bilden die Vektoren
ein Rechtssystem. Beispiele
Die
Orthonormalbasis
im
und ein mit ihr dargestellter Vektor
Beispiel 1
Die Standardbasis
des,
bestehend aus den Vektoren
ist eine Orthonormalbasis des dreidimensionalen euklidischen
Vektorraums
(ausgestattet mit dem Standardskalarprodukt):
Sie ist eine Basis des,
jeder dieser Vektoren hat die Länge 1, und je zwei dieser Vektoren stehen
senkrecht aufeinander, denn ihr Skalarprodukt
ist 0.
Graphische Darstellung Das Wort Richtung hat hier eine etwas andere Bedeutung als im alltäglichen Sprachgebrauch. Richtung im echten Leben In unserem Alltag unterscheiden wir Norden und Süden als entgegengesetzte Richtungen. Aus diesem Grund nehmen wir intuitiv an, dass eine Gerade zwei Richtungen besitzt. Abb. 4 / Richtung im echten Leben Richtung in der Mathematik Ein Mathematiker versteht unter der Richtung einer Gerade das, was allen untereinander parallelen Geraden gemeinsam ist. Für ihn hat eine Gerade also nur eine Richtung. Allerdings können wir auf einer Richtung zwei Orientierungen voneinander unterscheiden. Abb. 5 / Richtung in der Mathematik Wir halten fest, dass in der Mathematik das Wort Richtung – im Gegensatz zum alltäglichen Sprachgebrauch – die Orientierung nicht einschließt. Basis eines Vektorraums - lernen mit Serlo!. Welchen Einfluss die Orientierung auf das Rechnen mit Vektoren hat, werden wir gleich genau unter die Lupe nehmen. Graphische Darstellung eines Vektors Geometrische Merkmale eines Pfeils sind: Pfeillänge = Länge des Vektors Pfeilschaft = Richtung des Vektors Pfeilspitze = Orientierung des Vektors Abb.
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