Kapitel 7 - Boolesche Algebra
Die Boolesche Algebra findet ihren praktischsten Nutzen bei der Vereinfachung logischer Schaltungen. Wenn wir die Funktion einer Logikschaltung in eine symbolische (boolesche) Form übersetzen und bestimmte algebraische Regeln auf die resultierende Gleichung anwenden, um die Anzahl von Termen und / oder arithmetischen Operationen zu reduzieren, kann die vereinfachte Gleichung für eine durchzuführende Logikschaltung in eine Schaltungsform zurückübersetzt werden die gleiche Funktion mit weniger Komponenten. 08. Schaltgleichungen rechnerisch vereinfachen mittels Schaltalgebra - lernen mit Serlo!. Wenn eine äquivalente Funktion mit weniger Komponenten erreicht werden kann, wird das Ergebnis eine erhöhte Zuverlässigkeit und verringerte Herstellungskosten sein. Zu diesem Zweck gibt es einige Regeln der Booleschen Algebra, die in diesem Abschnitt vorgestellt werden, um Ausdrücke auf ihre einfachsten Formen zu reduzieren. Die bereits in diesem Kapitel besprochenen Identitäten und Eigenschaften sind sehr nützlich für die Boolesche Vereinfachung und tragen größtenteils die Ähnlichkeit mit vielen Identitäten und Eigenschaften der "normalen" Algebra.
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/ 2018-09-06
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Alle anderen logischen Verknüpfungen basieren auf einer Kombination dieser drei Grundverknüpfungen. Wenn man auf UND-Verknüpfungen verzichten will, dann kann man aus ODER- und NICHT-Verknüpfungen beliebige Verknüpfungsschaltungen aufbauen. Boolesche Algebra vereinfachen mit DNF/KNF. Wenn man auf ODER-Verknüpfungen verzichten will, dann kann man aus UND- und NICHT-Verknüpfungen beliebige Verknüpfungsschaltungen aufbauen. Da sich UND-, ODER- und NICHT-Verknüpfungen aus NAND-Glieder verschalten lassen, kann man aus NAND-Gliedern beliebige Verknüpfungsschaltungen aufbauen. Weitere verwandte Themen:
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Mit den Verknüpfungen
e ∨ f = e + f − e f, e ∧ f = e f e\lor f = e + f - ef, \quad e \land f = ef
wird A A zu einer booleschen Algebra. Ist H H ein Hilbertraum und P(H) die Menge der Orthogonalprojektionen auf H H. Definiert man für zwei Orthogonalprojektionen P P und Q P ∨ Q = P + Q − n P Q, P ∧ Q = P Q Q P\lor Q = P + Q - nPQ, \quad P \land Q = PQ, wobei n n gleich 1 oder 2 sein soll. In beiden Fällen wird P(H) zu einer booleschen Algebra. Boolesche algebra vereinfachen rechner 1. Der Fall n=2 ist in der Spektraltheorie von Bedeutung. Homomorphismen
Ein Homomorphismus zwischen booleschen Algebren A, B A, B ist ein Verbandshomomorphismus f : A → B f\colon A\to B, der 0 auf 0 und 1 auf 1 abbildet, d. h. für alle x, y ∈ A x, y\in A gilt:
f ( x ∧ y) = f ( x) ∧ f ( y) f(x\land y)=f(x)\land f(y)
f ( x ∨ y) = f ( x) ∨ f ( y) f(x\lor y)=f(x)\lor f(y)
f ( 0) = 0, f ( 1) = 1 f(0)=0, \quad f(1)=1
Es folgt daraus, dass f ( ¬ a) = ¬ f ( a) f(\neg a)=\neg f(a) für alle a a aus A A. Die Klasse aller booleschen Algebren wird mit diesem Homomorphismenbegriff eine Kategorie.
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Die in diesem Abschnitt aufgeführten Regeln sind jedoch alle für die Boolesche Mathematik einzigartig. Diese Regel kann symbolisch bewiesen werden, indem man ein "A" aus den zwei Begriffen faktorisiert und dann die Regeln von A + 1 = 1 und 1A = A anwendet, um das Endergebnis zu erzielen:
Bitte beachten Sie, wie die Regel A + 1 = 1 verwendet wurde, um den Ausdruck (B + 1) auf 1 zu reduzieren. Boolesche algebra vereinfachen rechner test. Wenn eine Regel wie "A + 1 = 1" mit dem Buchstaben "A" ausgedrückt wird, bedeutet das nicht gilt nur für Ausdrücke, die "A" enthalten. Was das "A" in einer Regel wie A + 1 = 1 bedeutet, ist eine beliebige boolesche Variable oder Sammlung von Variablen. Dies ist vielleicht das schwierigste Konzept für neue Schüler, um Boolesche Vereinfachungen zu beherrschen: Anwenden von standardisierten Identitäten, Eigenschaften und Regeln auf Ausdrücke, die nicht in Standardform sind. Zum Beispiel reduziert sich der boolesche Ausdruck ABC + 1 durch die Identität "A + 1 = 1" ebenfalls auf 1. In diesem Fall erkennen wir, dass der Ausdruck "A" in der Standardform der Identität den gesamten "ABC" -Begriff im ursprünglichen Ausdruck darstellen kann.
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Betrachten wir diese Funktionen im Detail. Zwei von ihnen, f0 = 0 und f15 = 1, sind Konstanten. Die Funktionen f3, f5, f10 und f12 sind im Wesentlichen Funktionen von einer Variablen. Die wichtigsten Funktionen von zwei Variablen haben besondere Namen und Bezeichnungen. 1) f1 – Konjunktion (UND-Funktion) Beachten Sie, dass die Konjunktion eigentlich die übliche Multiplikation (von Nullen und Einsen) ist. Diese Funktion wird mit x&y bezeichnet;
2) f7 ist eine Disjunktion (oder Funktion). Sie wird mit V bezeichnet. 3) f13 ist eine Implikation (Folge). Bezeichnet mit ->. Boolesche algebra vereinfachen rechner model. Dies ist eine sehr wichtige Funktion, insbesondere in der Logik. Sie kann wie folgt betrachtet werden: Wenn x = 0 (d. h. x ist "falsch"), dann kann sowohl "falsch" als auch "wahr" aus dieser Tatsache abgeleitet werden (und dies ist korrekt), wenn y = 1 (d. y ist "wahr"), dann wird Wahrheit sowohl aus "falsch" als auch aus "wahr" abgeleitet, und dies ist ebenfalls korrekt. Nur der Schluss "aus wahr ist falsch" ist falsch. Beachten Sie, dass ein Satz immer diese logische Funktion enthält;
4) f6 – Addition modulo 2.
Literatur
Marshall Harvey Stone: The Theory of Representations for Boolean Algebras. In: Transactions of the American Mathematical Society. Lancaster 40. 1936, S. 37-111. Unknown meta: ISSN|0002-9947
D. A. Vladimirov: Boolesche Algebren. In deutscher Sprache herausgegeben von G. Eisenreich. Berlin 1972. Wer die erhabene Weisheit der Mathematik tadelt, nährt sich von Verwirrung. Schaltalgebra / Rechenregeln der Digitaltechnik. Leonardo da Vinci
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