Mathe Tutorial: Erweiterter Euklidischer Algorithmus zum Lösen linearer diophantischen Gleichungen - YouTube
Euklidischer Algorithmus Aufgaben Mit Lösungen Zum Ausdrucken
Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 wird mit dem Euklidischen Algorithmus wie folgt berechnet:
Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 ist somit 21.
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Ganz allgemein gibst du dem Algorithmus also eine Eingabe (Bsp. : Situation aus dem Straßenverkehr), und durch einen Schritt-für-Schritt-Ablauf bestimmt er dir eine spezifische Ausgabe (Bsp. : Ampel wird rot):
Algorithmus Funktionsweise
Aber wie kann so ein Algorithmus in Programmform ganz konkret aussehen? Schau dir mal dieses Pseudo-Programm an, das aus den zwei Zahlen x und y die größere Zahl bestimmen soll. Euklidischer Algorithmus: ggT berechnen - Individuelle Mathe-Arbeitsblätter bei dw-Aufgaben. Dazu gibst du zwei Zahlen für x und y in das Programm, das dir die größere der beiden wieder zurückgibt. GrößereZahl (x, y): Wenn (x > y) dann zurückgeben (x) Ansonsten zurückgeben (y)
In der Programmiersprache Python sieht das dann so aus:
1 def GrößereZahl (x, y): 2 if (x > y): 3 return x 4 else: 5 return y
Wenn du das Programm jetzt mit den Zahlen 3 und 5 aufrufst (GrößereZahl(3, 5)), gibt dir das Programm die 5 zurück. Algorithmen in der Mathematik
Auch in der Mathematik sind Algorithmen von wichtiger Bedeutung. Denn schon die Reihenfolge, in der du dein Ergebnis am schnellsten berechnest, ist ein Algorithmus.
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Dazu brauchen Sie kein Feld verwenden: vier int-Attribute reichen aus. Entwerfen und implementieren Sie dann einen rekursiven Algorithmus, mit dem die n-te Fibonacci-Zahl
mit höchstens O(log 2 n) Zeitaufwand berechnet wird. Lösung
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Am Schluss verbleibt ein ggT mit zwei gleichen Zahlen – dies ist der ggT der beiden Ausgangszahlen. Beispiele:
ggT(35;25) = ggT(10;25) = ggT(10;15) = ggT(10;5) = ggT(5;5) = 5
ggT(12;4) = ggT(8;4) = ggT(4;4) = 4
ggT(65;26) = ggT(39;26) = ggT(13;26) = ggT(13;13) = 13
Führe den Euklidischen Algorithmus an den folgenden Zahlenpaaren durch. Euklidischer algorithmus aufgaben mit lösungen berufsschule. a. ) 9 und 30
ggT(9;30) = ggT(9;21) = ggT(9;12) = ggT(9;3) = ggT(6;3) = ggT(3;3) = 3
b. ) 226 und 904
ggT(226;904 = ggT(226;678) = ggT(226;452) = ggT(226;226) = 226
c. ) 1215 und 2115
ggT(1215;2115) = ggT(1215;900) = ggT(315;900)
= ggT(315;585) = ggT(315;270) = ggT(45;270) = ggT(45;225)
= ggT(45;180) = ggT(45;135) = ggT(45;90) = ggT(45;45) = 45
* Programmiere den Euklidischen Algorithmus so, dass der Anwender zwei Zahlen eingeben kann und den ggT als Ausgabe erhält. Lösungsdatei in Scratch: 2 (Autor: Tom Schaller)
Lösungsdatei im AppInventor: im Ordner 7_apps (Autorin: Monika Eisenmann)
Es geht aber auch rekursiv. Die Funktion istPrimzahl(p) sei wie folgt mit Hilfe der rekursiven Funktion
istPrimzahl(p, z) definiert:
istPrimzahl(p):= istPrimzahl(p, p-1)
istPrimzahl(p, 1):= true
istPrimzahl(p, z):= false, falls p durch z teilbar ist
istPrimzahl(p, z):= istPrimzahl(p, z - 1), falls p nicht durch z teilbar ist
Implementieren Sie eine rekursive Java-Methode, die istPrimzahl() berechnet (ohne Iterationen). -
Rekursive Funktion implementieren
Gegeben sei folgende rekursiv definierte Funktion f:
f(n):= 1, für n = 1
f(n):= f(n-1) + 2n - 1, für n > 1
Implementieren Sie eine rekursive Java-Methode, die f(n) berechnet (ohne Iterationen). Um welche Form von Rekursion handelt es sich? Wie Erweiterter Euklidischer Algorithmus Gleichung Lösen? (Schule, Mathe, keinplan). Was berechnet f(n)? Geben Sie eine nicht-rekursive Implementierung von f an. Berechnen Sie die n-te Fibonacci-Zahl in O(log 2 n)
Sie sollten erst die n-te Potenz einer Zahl mit O(log 2 n) Zeitaufwand implementiert haben, um diese Aufgabe anzugehen. Die Lösungsidee ist hier die gleiche. Man kann die n-te Fibonacci-Zahl mit Hilfe der folgenden Gleichung berechnen (Abbildung aus deutscher Wikipedia):
Implementieren und testen Sie erst eine Klasse Matrix, mit der 2x2-Matrizen (int-Werte) repräsentiert und multipliziert werden können.