Bewegungen können auf unterschiedlicher Bahnen in verschiedener Art erfolgen: Sie können geradlinig oder krummlinig verlaufen, können gleichförmig, gleichmäßig beschleunigt oder ungleichmäßig beschleunigt sein. Allgemeine Bewegungsgesetze in Physik | Schülerlexikon | Lernhelfer. Für alle speziellen Fälle lassen sich die entsprechenden Bewegungsgesetze formulieren. Man kann die Bewegungsgesetze aber auch so allgemein formulieren, dass fast alle Spezialfälle aus ihnen ableitbar sein. Diese allgemeinen Bewegungsgesetze sind in dem Beitrag dargestellt und erläutert.
- Beispiele zur Momentangeschwindigkeit
- Allgemeine Bewegungsgesetze in Physik | Schülerlexikon | Lernhelfer
Beispiele Zur Momentangeschwindigkeit
Die in den Diagrammen eingezeichneten Geradensteigungen sind
kommentiert. Fahre einfach mit der Maus über die Steigungspfeile! Der Mauszeiger verändert sich dort zur Hand. Die Ableitungen sind jeweils grau markiert und mit einer Nummer
versehen. Diese Nummern beziehen sich auf die Vergleichstabelle in " Physik
trifft Mathematik - die Ableitungsregeln in Beispielen " im
unteren Teil der Seite. Solltest du die Ableitungen im oberen Teil nicht verstehen, so schaue sie dir
im unteren Teil genauer an. Beispiele zur Momentangeschwindigkeit. Hier sind sie etwas ausführlicher
entwickelt. Die Farben helfen beim Verständnis. Du kannst auf die Nummern klicken, dann springt die Seite automatisch nach
unten. Mit dem "Zurück" Knopf bist du dann wieder an der
Ausgangsstelle. gleichförmige Bewegung
Der Körper startet zum Zeitpunkt t = 0 s aus der Ruhe mit
konstanter Geschwindigkeit v.
gleichmäßig beschleunigte
Bewegung
konstanter Beschleunigung a.
Ort
Weg-Zeit-Funktion:
Geschwindigkeit
Die Momentangeschwindigkeit v(t) ist die Ableitung
der Orts-Zeit-Funktion s(t) nach der Zeit.
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So lautet diese allgemein:
f(x) = g(x)* h(x) ⇒ f(x)' = g(x)'* h(x) + g(x)* h(x)'
Auch hier hilft leider nur auswendig lernen, oder du kannst dir diese vereinfachte Form merken:
U steht hier für Multiplikator 1 und V für Multiplikator 2. Ableitung geschwindigkeit beispiel. Da in einem Produkt die Reihenfolge keine Rolle spielt, sind diese auch austauschbar. U' und V' sind wieder jeweils die Ableitungen der einzelnen Funktionen. Hier die Erklärung anhand eines Beispiels:
f(x) = (3+4x²)*(5x³+2)
Zuerst leitest du den Multiplikator 1 ab:
g(x) = (3+4x²) ⇒ g'(x) = 8x
Das multiplizierst du mit dem Multiplikator 2:
g'(x)*h(x) = (8x)*(5x³+2)
Dann leitest du Multiplikator 2 ab:
h(x) = (5x³+2) ⇒ h'(x) = 15x²
Das multiplizierst du mit Multiplikator 1:
g(x)*h'(x) = (3+4x²)*(15x²)
Das Ganze addierst du dann zusammen:
f'(x)=(8x)*(5x³+2)+(3+4x²)*(15x²)
Das kannst du dann noch vereinfachen:
f'(x)=40x 4 +16x+45x²+60x 4
f'(x)=100x 4 +45x²+16x
Ableitung Kettenregel
Wann brauchst du die Kettenregel? Wie der Name bereits verrät, benutzt du die Kettenregel bei einer Verkettung von Funktionen.
Beispiel Die eben angeführte Ableitung zur Momentangeschwindigkeit
soll anhand eines konkreten Beispiels veranschaulicht werden. Die Erdbeschleunigung g für den freien Fall beträgt in etwa 9. 81m/s². Nun soll mit Hilfe unserer beiden Funktionen folgende Fragestellungen beantwortet werden:
a) Welchen Weg hat man nach 5 Sekunden im freien Fall zurückgelegt? b) Welche Momentangeschwindigkeit hat man genau nach 5 Sekunden? c) Zu welchem Zeitpunkt hat man eine Momentangeschwindigkeit von 70m/s? Lösung zu a:
Für diese Fragestellung ist die Funktion f(t) erforderlich. Gegeben ist der Zeitpunkt mit t=5 Sekunden. Weiters kennen wir die Erdbeschleunigung in Erdnähe und verwenden den gerundeten Wert a=9. Durch Einsetzen erhält man: Nach ca. 7. 14 Sekunden erreicht man eine Geschwindigkeit von 70m/s (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes! ) Lösung zu b:
Durch die unter dem Punkt Momentangeschwindigkeit
hergeleitete erste Ableitung erhält man durch Einsetzen:
Nach fünf Sekunden erreicht man eine Geschwindigkeit von 49.