4. Gerade liegt parallel zur Ebene
Wenn die Gerade nicht in der Ebene liegt, sie aber auch niemals schneidet, dann liegt sie parallel zur Ebene. Um die Frage zu klären, ob Parallelität vorliegt, kann man die obigen zwei Bedingungen nahezu identisch übernehmen. Anders ist nur, dass hier ein Punkt nicht in der Ebene liegen darf (gilt dies für einen Punkt, dann gilt es für alle durch Bedingung 1): 1. Ein Punkt der Gerade darf nicht in der Ebene liegen. (Liegt ein Punkt der Geraden nicht in der Ebene, dann liegt auch kein anderer Punkt in der Ebene. ) 5. Gerade schneidet Ebene
Eine Gerade schneidet eine Ebene, wenn nur ein Schnittpunkt existiert. Damit sich Ebene und Gerade schneiden müssen sie "schief" zueinander liegen. Ist das der Fall, dann müssen sie sich zwangsweise an irgendeinem Punkt schneiden - und nach diesem Punkt nie wieder. Lage Gerade, Ebene (Vektorrechnung) - rither.de. Die Gerade liegt "schief" zur Ebene, wenn ihr Richtungsvektor nicht orthogonal zum Normalenvektor der Ebene ist. Das heißt, dass Bedingung 1 aus den oberen beiden Fällen sozusagen "umgedreht" wird: 1.
Gerade Liegt In Ebene 4
Gegeben ist folgende Ebene:
$$
E: 3x_1 + 1x_2 - 5x_3 = -3
bzw. in Parameterdarstellung:
E: \vec{x} =
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
+ r \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
+ s \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}
Wir untersuchen, die Lage der Geraden $g$ zur Ebene. g: \vec{x} =
\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -1 \end{pmatrix}
+ k \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
Verfahren 1: Koordinatenform
Am einfachsten untersuchen Sie die Lage der Gerade zur
Ebene mit Hilfe der Koordinatenform der Ebene. Gerade liegt in ebene 4. Wenn die Gerade parallel zur Ebene ist oder in der
Ebene liegt, dann muss der Richtungsvektor der
Geraden orthogonal zum Normalenvektor der Ebene sein. Dann ist das Skalarprodukt der beiden Vektoren
null. \vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}
\vec{v_g} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
Das Skalarprodukt ergibt. \vec{n} \cdot \vec{g}
= 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-5) \cdot 1
= 3 + 2 - 5 = 0
Also ist die Gerade parallel oder sogar in der Ebene. Dazu muss man noch die Punktprobe machen.
Der Richtungsvektor der Geraden darf nicht nicht orthogonal zum Normalenvektor liegen. Hier braucht man auch nur eine Bedingung. Es gibt schließlich nur drei mögliche Lagebeziehungen. Trifft diese Bedingung 1 zu, dann werden automatisch die beiden anderen Fälle (parallel/ineinander) ausgeschlossen. Daher kann nur noch Fall 3 (schneiden) zutreffen. 6. Gerade liegt in ebene e. Links
Wiedermal einige Videos, die das ganze etwas verdeutlichen sollen. Vor allem wie man's dann rechnet: Ebene in Parameterform und Gerade gegeben - wie liegen sie zueinander? Ebene in Normalenform und Gerade gegeben. Wieder die Frage, wie diese zueinander liegen. Und das ganze noch einmal, diesmal mit einer Geraden und einer Ebene in Koordinatenform.