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Gegeben sind die drei Seiten a, b und c.
Gesucht ist der Winkel γ.
Lösung:
Kosinussatz aufstellen:
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab·cos(γ)
Umstellen nach cos(γ):
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab·cos(γ) | -c 2
0 = -c 2 + a 2 + b 2 - 2ab·cos(γ) | +2ab·cos(γ)
2ab·cos(γ) = -c 2 + a 2 + b 2 |:2ab
\( \cos (γ) = \frac{-c^{2}+a^{2}+b^{2}}{2·ab} \)
Arkuskosinus anwenden, um Winkel berechnen zu können:
\(
γ = cos^{-1}\left( \frac{-c^2 + a^2 + b^2}{2ab}\right)
\)
Falls cos(γ) negativ sein sollte, so ist γ zwischen 90° und 180° groß. Alle Winkelformeln ausgehend vom Kosinussatz
Im Folgenden sind alle Formeln aufgeführt, die wir benötigen, um Winkel aus den Dreiecksseiten zu berechnen. Sie basieren auf dem Kosinussatz:
α = cos^{-1}\left( \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2bc}\right)
β = cos^{-1}\left( \frac{-b^2 + a^2 + c^2}{2ac}\right)
\)
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Trigonometrie
Anwendungen des Kosinussatzes:
Sind von einem Dreieck alle drei Seitenlängen bekannt, so notieren Sie zuerst den Kosinussatz für diejenige Seite, welche dem gesuchten Winkel gegenüber liegt. Lösen Sie diese Gleichung nach dem Cosinus des gesuchten Winkels auf. Aus diesem Kosinuswert erhalten Sie den gesuchten Winkel mit dem Arcus-Cosinus. Der Kosinussatz - bettermarks. Sind von einem Dreieck zwei Seiten und deren Zwischenwinkel bekannt, so liefert der Kosinussatz direkt die dritte Seite (bzw. das Quadrat dieser Seite). Sind von einem Dreieck zwei Seiten und ein anliegender Winkel (≠ Zwischenwinkel) bekannt, so notieren Sie zuerst den Kosinussatz für diejenige Seite, welche dem bekannten Winkel gegenüber liegt. Diese Gleichung ist eine quadratische Gleichung für die dritte Dreiecksseite. Diese Gleichung lösen Sie mit einem Solver oder mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Beweis des Kosinussatzes:
Der folgende hübsche (dynamische) Beweis von Dmitrij Nikolenkov setzt bloss Ähnlichkeit und den Kosinus am rechtwinkligen Dreieck voraus:
Verwenden Sie die Steuerungselemente unter der Abbildung (um die einzelnen Beweisschritte zu sehen)
Das ist ein mit GeoGebra erstelltes Java-Applet.
Beispiel 4: Seite berechnen
Aufgaben zum Kosinussatz: Parallelogramm und Kosinussatz
Beispiel 4: Kosinussatz
Gegeben sei das obige Parallelogramm. Gegeben seien die Seite und. Der Winkel beträgt 55°. Berechne die Länge der Diagonalen DB! Wir können hier den Kosinussatz anwenden um die Länge der Diagonalen zu bestimmen. Die Diagonale teilt das Parallelogramm in zwei gleich große allgemeine Dreiecke. Kosinussatz nach winkel umstellen em. Wie haben die beiden Seiten und sowie den eingeschlossenen Winkel gegeben. Die Diagonale liegt also genau gegenüber von unserem gesuchten Winkel. Wir bezeichnen diese als und wenden den folgenden Kosinussatz an:
Einsetzen der gegebenen Werte:. Die Diagonale hat eine Länge von 10, 24 cm. Interaktive Übungsaufgaben
Quizfrage 1
Wusstest du, dass unter jedem Kursabschnitt eine Vielzahl von verschiedenen interaktiven Übungsaufgaben bereitsteht, mit denen du deinen aktuellen Wissensstand überprüfen kannst? wie gehts weiter Wie geht's weiter? In der folgenden Lerneinheit behandeln wir den Sinussatz zur Berechnung von Seiten bzw. Winkel in einem allgemeinen Dreieck.