Die verallgemeinerte Poisson-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
und somit dem mathematischen Teilgebiet der Stochastik
zuzuordnen. Sie ist eine univariate
diskrete
Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den natürlichen Zahlen, die vor allem in
der Versicherungsmathematik
verwendet wird. Im Vergleich zur Poisson-Verteilung
besitzt sie zwei Parameter, ist dadurch wesentlich flexibler als diese. Definition
Eine diskrete Zufallsvariable
unterliegt der Verallgemeinerten Poisson-Verteilung mit den Parametern
(Ereignisrate) und,
wenn sie die Wahrscheinlichkeiten
besitzt. Setzt man,
so ergibt sich die gewöhnliche Poisson-Verteilung
zum Erwartungswert. Eigenschaften
Die Varianz ist immer mindestens so groß wie der Erwartungswert (für
sogar größer). Beweis: Erwartungswert und Varianz der Poisson-Verteilung - YouTube. Diese Eigenschaft nennt man Überdispersion
(englisch
overdispersion). Für die verallgemeinerte Poisson-Verteilung sind Rekursionen für die
Summenverteilung bekannt, wie man sie auch von der Panjer-Verteilung
kennt. Für viele Anwendungsfälle ist die implizite Definition der
verallgemeinerten Poisson-Verteilung ausreichend.
- Verallgemeinerte Poisson-Verteilung
- Beweis: Varianz der Poissonverteilung
- Poisson-Verteilung - Minitab
- Poissonverteilung | Formel, Beispiel, Definition, Mittelwert und Varianz | Hi-Quality
- Beweis: Erwartungswert und Varianz der Poisson-Verteilung - YouTube
Verallgemeinerte Poisson-Verteilung
Diese Art von Argumentation führte Clarke zu einer formalen Ableitung der Poisson-Verteilung als Modell. Die beobachteten Trefferfrequenzen lagen sehr nahe an den vorhergesagten Poisson-Frequenzen. Daher berichtete Clarke, dass die beobachteten Variationen anscheinend nur zufällig generiert wurden. Verallgemeinerte Poisson-Verteilung. Holen Sie sich ein Britannica Premium-Abonnement und erhalten Sie Zugriff auf exklusive Inhalte. Jetzt abonnieren
Beweis: Varianz Der Poissonverteilung
71828}\)
\(\mu\)= mittlere Anzahl von Erfolgen im angegebenen Zeitintervall oder Raumbereich. Mittelwert und Varianz der Poisson-Verteilung:
If \(\mu\) ist die durchschnittliche Anzahl von Erfolgen, die in einem bestimmten Zeitintervall oder einer bestimmten Region in der Poisson-Verteilung auftreten. Dann sind der Mittelwert und die Varianz der Poisson-Verteilung beide gleich \(\mu\).,
Daher
E(X) = \(\mu\)
und
V(X) = \(\sigma^2 = \mu\)
Denken Sie daran, dass in einer Poisson-Verteilung nur ein Parameter \(\mu\) benötigt wird, um die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses zu bestimmen. Einige gelöste Beispiele für Sie
Beispiel-1: Einige Fahrzeuge passieren eine Kreuzung auf einer stark befahrenen Straße mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 300 pro Stunde. Beweis: Varianz der Poissonverteilung. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass keiner in einer bestimmten Minute vergeht. Was ist die erwartete Anzahl von Passagen in zwei Minuten?,
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese erwartete Zahl, die oben gefunden wurde, tatsächlich in einem bestimmten Zeitraum von zwei Minuten durchläuft.
Poisson-Verteilung - Minitab
Um auf das Beispiel Roulette zurückzukommen und um es sich besser vorstellen zu können: Wenn man die Kugel, nachdem man gedreht hat, auf das entsprechende Feld legt, werden 37% der Felder leer bleiben, auf 37% werden genau eine Kugel kommen und auf 26% der Felder wird mindestens eine Kugel gelegt werden. Die drei Formeln, und können nun auch noch verallgemeinert werden, wenn man statt sie n-mal durchzuführen ein Vielfaches von n-mal durchführt. Dann wird aus
gleich
aus gleich
und aus gleich
Poissonverteilung | Formel, Beispiel, Definition, Mittelwert Und Varianz | Hi-Quality
Lösung: Unser Wert für λ beträgt 0, 61. Der Wert für x ist 1. Die Rechnung lautet daher: Die Wahrscheinlichkeit, dass exakt ein Soldat in einem Korps in einem bestimmten Jahr von einem bösartigen Pferd totgetreten wurde lag also bei etwa 33, 14%. Berechnen wir nun auch noch die Wahrscheinlichkeit, dass ein oder mehr Soldaten von Pferden totgetreten wurde (wieder in einem Jahr und Korps): (Zur Erinnerung: es gilt 0! = 1)
Es wurde also pro Korps und Jahr mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 54, 34% kein Soldat von einem Pferd ermordet. Daraus können wir wiederum ableiten, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 45, 66% (berechnet aus 1 - 0, 5434) mindestens ein Soldat an den Folgen eines Pferdetritts gestorben ist. x (Anzahl totgetretener Soldaten)
0
1
2
3
f(x|0, 61) bzw. Wahrscheinlichkeit (pro Korps und Jahr)
0, 5434
0, 3314
0, 1011
0, 0206
Sowohl der Erwartungswert als auch die Varianz sind bei der Poissonverteilung identisch mit λ. Für das vorherige Beispiel gilt also:
Unter bestimmten Umständen kann man die Poissonverteilung als Ersatz für die Binomialverteilung verwenden.
Beweis: Erwartungswert Und Varianz Der Poisson-Verteilung - Youtube
Erfolgswahrscheinlichkeit ist, für Nicht-Erfolg dann; E(X) = 1 und V(X) = 0, 97. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man die Null nicht trifft:
Dafür, dass man die Null genau einmal trifft:
Und zum Schluss dafür, dass man die Null mehr als einmal trifft:
Dies ist die Gegenwahrscheinlichkeit zu 0-mal und einmal, also
1 – (P(X = 0) + P(X = 1)) = 0, 27
Das erste Ereignis, dass die Null keinmal getroffen wird kann man auch kürzer oder allgemein schreiben. Und das ist aus der Analysis bekannt gleich. Für genau einmal treffen steht dann:
Für den Rest, das heißt mehr als einmal, bleibt dann:
Das 1/e-Gesetz
Man kann diese Ergebnisse als festhalten: Bei einem Zufallsversuch mit n gleichwahrscheinlichen Ergebnissen, den man n-mal durchführt, müsste erwartungsgemäß jedes der möglichen Ergebnisse im Mittel einmal vorkommen. Dies ist allerdings nicht der Fall. In Wirklichkeit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ergebnis keinmal bzw. einmal auftritt jeweils 37% und dass ein Ergebnis mehr als einmal auftritt 26%.
Erwartungswert
Der Erwartungswert
ergibt sich zu. Varianz
Für die Varianz
erhält man. Standardabweichung
Aus der Varianz
erhält man wie üblich die Standardabweichung. Variationskoeffizient
Für den Variationskoeffizienten
ergibt sich:. Schiefe
Die Schiefe
lässt sich darstellen als. Charakteristische Funktion
Die charakteristische
Funktion hat die Form
mit. Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion
Für die wahrscheinlichkeitserzeugende
Funktion erhält man
Momenterzeugende Funktion
Die momenterzeugende
Funktion der verallgemeinerten Poisson-Verteilung ist
Basierend auf einem Artikel in:
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Jena, den: 31. 12. 2020