Die Frage zum Abstand von Punkt S muss ich mir erst ansehen, für heute mache ich Schluss; vielleicht macht jemand anders weiter. RE: Extrempunkte bei Funktionenschar
hallo. du mir bitte sagen aus welchem buch du diese aufgabe hadst. mich interessieren
vielen vielen dank
- Funktionsschar extrempunkte und wendepunkte? (Mathematik)
- Abiunity - Extrempunkte einer Funktionsschar
- Bestimmen Sie die Extrempunkte der Funktionschar | Mathelounge
Funktionsschar Extrempunkte Und Wendepunkte? (Mathematik)
(vgl. 2 Nullstellen einer Funktionenschar) 2. Beispiel \[f_{k}(x) = 0.
Abiunity - Extrempunkte Einer Funktionsschar
In einer Kurvendiskussion werden häufig die Ortskurven von Extrempunkten oder Wendepunkten der Graphen einer Funktionenschar gesucht. Zur Berechnung der Ortskurve werden zunächst die Koordinaten der betreffenden Punkte (z. B. aller Tiefpunkte einer Funktionenschar) in Abhängigkeit vom jeweiligen Parameter (z. a oder k) bestimmt. Vorgehensweise:
1. allgemeine Punkte P(x|y) mit bestimmter Eigenschaft, z. Extrem- oder Wendepunkte, in Abhängigkeit vom Parameter bestimmen
2. Extrempunkte funktionsschar bestimmen klasse. x-Wert nach Parameter umstellen und in y-Wert einsetzen
3. y-Wert ist die Ortskurve
Beispiel
Gegeben sei die Funktionsschar $f_a(x) = x^2 – ax, \ a \in \mathbb{R}. $
Bestimme die Ortskurve, auf der alle Extrempunkte der Funktion liegen. Als erstes bestimmen wir die Extrempunkte in Abhängigkeit von a:
f'_a(x)=2x-a = 0 \Rightarrow x = \frac{a}{2}
Es handelt sich um einen Tiefpunkt, da $f"_a(x)=2 > 0$ ist. Alle Tiefpunkte der Funktionsschar liegen bei $T(\frac{a}{2} | -\frac{a^2}{4})$. Um die Ortskurve zu erhalten, müssen wir die x-Koordinate des allgemeinen Tiefpunktes nach dem Parameter umstellen.
Bestimmen Sie Die Extrempunkte Der Funktionschar | Mathelounge
Ableitung oder einen Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung. Du kannst auch entscheiden, ob ein Hoch- bzw. Tiefpunkt vorliegt. Die y y y -Werte ausrechnen durch Einsetzen in die Funktion. Lokales Minimum/Maximum und Globales Minimum/Maximum Lokale Minima/Maxima Liegt ein Tiefpunkt vor, so ist er in seiner Umgebung der tiefste Punkt. Er wird daher auch als lokales Minimum (auch relatives Minimum) bezeichnet. Extrempunkte funktionsschar bestimmen englisch. Liegt ein Hochpunkt vor, so ist er in seiner Umgebung der höchste Punkt. Er wird daher auch als lokales Maximum (auch relatives Maximum) bezeichnet. Merke: Tiefpunkte sind immer lokale Minima, weil sie in ihrer Umgebung der tiefste Punkt sind. Hochpunkte sind immer lokale Maxima, weil sie in ihrer Umgebung der höchste Punkt sind. Globale Minima/Maxima Ist ein Tiefpunkt gleichzeitig auch der tiefste Punkt der gesamten Funktion, bezeichnet man ihn als globales Minimum (auch absolutes Minimum). Ist ein Hochpunkt gleichzeitig auch der höchste Punkt der gesamten Funktion, bezeichnet man ihn als globales Maximum (auch absolutes Maximum).
Die Art der Extrempunkte spielt bei der vorliegenden Aufgabenstellung keine Rolle. Werbung Koordinaten der Extrempunkte bestimmen: \[f_{k}(x) = 0{, }5x^{2} + 4kx + 4\] \[x = -4k\] \[\begin{align*}f_{k}(-4k) &= 0{, }5 \cdot (-4k)^{2} + 4k \cdot (-4k) + 4 \\[0. 8em] &= 0{, }5 \cdot 16k^{2} - 16k^{2} + 4 \\[0. 8em] &= 8k^{2} - 16k^{2} + 4 \\[0. 8em] &= -8k^{2} + 4 \end{align*}\] \[\Longrightarrow \quad E(-4k|-8k^{2} + 4)\] Aus den Koordinaten der Extrempunkte \(E\) ergeben sich die beiden folgenden Gleichungen: \[x = -4k\] \[y = -8k^{2} + 4\] Werbung \(x(k)\) nach dem Parameter \(k\) auflösen: \[\begin{align*} x &= -4k & &|: (-4) \\[0. 8em] -\frac{x}{4} &= k \end{align*}\] \(k = -\frac{x}{4}\) in \(y(k)\) einsetzen: \[\begin{align*} y & = -8k^{2} + 4 \\[0. Funktionsschar extrempunkte und wendepunkte? (Mathematik). 8em] &= (-8) \cdot \left( -\frac{x}{4} \right)^{2} + 4 \\[0. 8em] &= (-8) \cdot \frac{x^{2}}{16} + 4 \\[0. 8em] &= -\frac{1}{2}x^{2} + 4 \end{align*}\] Die Ortslinie aller Extrempunkte \(E(-4k|-8k^{2} + 4)\) der Kurvenschar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionenschar \(f_{k} \colon x \mapsto 0{, }5x^{2} + 4kx + 4\) mit \(k \in \mathbb R\) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit der Funktionsgleichung \(y = -\frac{1}{2}x^{2} + 4\).